برای که عرض از مبدا و ماتریس پخش و بردار فرایند وینر d-بعدی مستقل است.
( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
در این صورت اگر تابع به صورت تعریف شود بنابراین معادله دیفرانسیل زیر که یک معادله دیفرانسیل چند بعدی ایتو نامیده می‌شود به صورت زیر استخراج می‌شود:
فرمول چند بعدی ایتو برای فرآیندهای وینر همبسته
یک فرایند n-بعدی ایتو با ماتریس ضریب همبستگی که توسط فرایند وینر d-بعدی استخراج می‌شود را در نظر بگیرید بنابراین برای ، معادله دیفرانسیل تصادفی به صورت زیر نوشته می‌شود:
بنابراین معادله دیفرانسیل تصادفی از به صورت زیر نوشته می‌شود
تئوری فیمن-کاک[۶۶]
این تئوری در ابتدا برای حالتی که فرایند‌های برآونی مستقل هستند بررسی می‌شود سپس برای غیر مستقل‌ها بیان می‌شود.
ابتدا در نظر بگیرید که و باشد. یک معادله دیفرانسیل تصادفی چند بعدی هم در نطر بگیرید.
که ضرایب، فروض تئوری یکتایی و وجود را در حل معادلات دیفرانسیل تصادفی برقرار می‌نمایند. اگر مفروض باشد و یک جواب برای مسئله مرزی زیر
در باشد، بنابراین برای خواهیم داشت:
که اندیس t و X از عملگر انتظارات نشان می‌دهد که ارزش مورد انتظار نشان‌دهنده ارزش مورد انتظار از حل معادله (۲-۱۴) برای X است.
برای حالتی که فرآیندهای وینر همبسته هستند نتایج یکسان هستند فقط ضریب همبستگی ظاهر می‌گردد. این تئوری برای استخراج رابطه بین قیمت اتی و نقدی کاربرد دارد
تغییر اندازه احتمال
در نظر بگیرید که X یک متغیر تصادفی غیر منفی روی فضای احتمال با باشد.که با رابطه زیر تعریف می‌شود:
که اندیس بیانگر تابع شاخص از مجموعه است. می‌توان بررسی کرد یک تابع احتمال روی است و در پیوسته است به نحوی که برای هر :
تئوری رادون-نیکوداین بیان می‌کند که همه چنین اندازه‌های که به این روش ایجاد می‌شوند. مخصوصا اگر و اندازه احتمال روی باشند و اگر نسبت به پیوسته باشد در این صورت یک متغیر تصادفی یکتا وجود دارد که مساوی (۲-۱۷) را برقرار نماید. چون یک اندازه احتمال است باید مساوی زیر را برقرار نماید:
متغیر عموما به عنوان بیان می‌شود که مشتق رادون-نیکوداین یا نسبت درستنمایی نسبت به نامیده می‌شود. همچنین اگر نسبت به پیوسته باشد بنابراین و معادل هستند به این معنا که آنها درباره پیشامد با احتمال صفر با یکدیگر هم یکسان هستند.
برای توضیح ایده فرض نمایید که متغیر تصادفی Y روی دارای چگالی g تحت اندازه باشد:
اکنون فرض نمایید که تابع چگالی دیگری باشد که خاصیت را برقرار می کند. بنابراین یک اندازه احتمال جدید روی به صورت زیر تعریف می‌نماییم:
که عملگر انتظارات تحت اندازه است. نسبت معادل با یک در نظر گرفته می‌شود زمانی که هر دو صفر باشند. آن بیان می‌کند:
تحت انداره احتمال پیشامد داری احتمال زیر می‌باشد:
تحت اندازه جدید متغیر تصادفی y دارای توزیع است. به عنوان مثال در نظر بگیرید که توزیع نرمال استاندارد باشد و چگالی نرمال با میانگین و واریانس واحد باشد. بنابراین داریم. اگر دارای توزیع نرمال استاندارد تحت اندازه و اگر را به صورت زیر تعریف نماییم:
بنابراین دارای میانگین تحت اندازه جدید و دارای توزیع نرمال استاندارد تحت اندازه است.
به طور مشابه اگر تحت بعضی اندازه احتمال متغیرهای تصادفی مستقل و دارای چگالی‌های باشند و اگر به صورت تعریف شود بنابراین تحت ، مستقل و دارای توزیع می‌باشند. در عمل اگر نرمال استاندارد مستقل تحت باشند و باشد بنابراین ،. .. و دارای توزیع نرمال استاندارد مستقل تحت اندازه هستند.
مهمترین جذابیت در انتقال اندازه تغییر است تا عرض از مبدا حرکت برآونی را تغییر دهند. بدین منظور در ادامه تئوری گیرسانو[۶۷] بیان می‌شود.
تئوری گیرسانو
با یک تعمیم از انتقال در (۲-۱۷) شروع می‌نماییم برای فیلتر از فضای احتمال در نظر بگیرید که نشان‌دهنده محدودیت از به باشد. همچنین در نظر گیرید که یک مارتینگل غیر منفی نسبت به باشد و فرض نمایید که باشد. با یک اندازه احتمال روی به صورت تعریف نماییم که می‌باشد یعنی برای هر :
بنابراین یک محدودیت از به است زیرا برای هر داریم:
به این معنا که اندازه‌های سازگار هستند. اگر اکیدا مثبت باشد در این صورت و برای تما‌می ها معادل هستند.
فرض نمایید که P و اندازه احتمال‌های هم‌ارز روی با مشتق رادون-نیکوداین باشد. با تعریف
ادعا می‌نماییم که نسبت یک مارتینگل معادل با مشتق رادون-نیکوداین از محدودیت به نسبت به محدودیت به است. از تعریف می‌توان خواص مارتینگل را استنباط نمود. برای ادعای دوم مشاهده می‌کنیم که برای هر :
به طور خلاصه یک مارتینگل غیر منفی با میانگین واحد به عنوان خانواده‌ای سازگار از اندازه احتمال و به طور معکوس مشتقات رادون-نیکوداین برای چنین خانواده‌ای یک مارتینگل با میانگین واحد و غیر منفی تعریف می کند.
در ادامه در نظر بگیرید که یک حرکت برآونی استاندارد (فرایند وینر) k-بعدی روی فضای احتمال باشد و در نظر بگیرید که فیلتر تولید شده توسط تعمیم‌یافته به همه زیر مجموعه‌های با احتمال p معادل صفر باشد.
