اگر برای هر ، عضو همانی و عضو همانی باشد، پس را عضو همانی و را عضو همانی در نظر می‌گیریم.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
همچنینرا وارون و را وارون در نظر می‌گیریم جایی‌که برای هر ، وارون و وارون می‌باشد.
پس وتشکیل گروه می‌دهند.
بنابراین یک گروه‌وارروی است به همراه نگاشت‌های زیر:
نگاشت منبع
نگاشت هدف
نگاشت شی
جایی‌که نگاشت شیء باشد.
نگاشت معکوس
جایی‌که وارون در گروه‌وار باشد.
نگاشت ترکیب
جایی‌که در تعریف‌شده باشد.
به‌سادگی دیده می‌شود که شرایط گروه‌وار نیز برقرار است.
نشان می‌دهیم نگاشت‌های ساختار گروهی، ریخت‌های گروه‌واری هستند.
برایداریم:
و
همچنین داریم:
برایداریم:
و
همچنین داریم:
برایداریم:
با در نظر گرفتن توپولوژی جعبه‌ای برای ، به یک فضای توپولوژیکی تبدیل می‌شود.
برای هر ، نگاشت‌های منبع، هدف، شئ، معکوس و ترکیب در پیوسته‌اند، بنابراین ، ، ، و نیز پیوسته می‌باشند.
همچنین برای هر ، داریم ، و ، در پیوسته‌اند، پس ، و نیز پیوسته می‌باشند.
درنتیجه یک گروه-گروه‌وار توپولوژیکی است.■
تعریف ۴-۸٫ حلقه‌ی توپولوژیکی
یک حلقه‌ی توپولوژیکی، یک حلقه‌ی است با یک توپولوژی روی آن، به طوری‌که نگاشت‌های ساختار حلقه‌ای (ضرب گروهی، ضرب حلقه ایو معکوس گروهی) پیوسته باشند.
تعریف ۴-۹٫ ریخت بین حلقه‌های توپولوژیکی
یک ریخت حلقه‌ای توپولوژیکی از یک گروه توپولوژیکی به دیگری، یک همریختی حلقه‌ای است که به عنوان یک نگاشت، پیوسته نیز می‌باشد.
تعریف ۴-۱۰٫ حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی
یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی ، یک گروه‌وار توپولوژیکی است که مجهز به یک ساختار حلقه‌ی توپولوژیکی می‌باشد به طوری‌که نگاشت‌های ساختار حلقه‌ای زیر ریخت‌هایی از گروه‌وارهای توپولوژیکی باشند:
۱- ضرب گروهی .
۲- معکوس گروهی .
۳- .
۴- ضرب حلقه‌ای .
در اینجا را نمادی برای ضرب گروهی،را نمادی برای ضرب حلقه‌ای و را نمادی برای ترکیب دو عنصر ودر گروه‌وار توپولوژیکی در نظر می‌گیریم.
با توجه به مورد۳، نکته‌ی زیر را داریم.
نکته۴-۱۱٫اگر عنصر همانی(صفر)باشد، آن‌گاه عنصر همانی(صفر) می‌شود.
به عبارت دیگر، می‌توان تعریف ۴-۱۰، را به صورت زیر نیز بیان کرد.
تعریف ۴-۱۲٫ یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی ، یک گروه-گروه‌وار توپولوژیکی است که به یک ساختار حلقه‌ی توپولوژیکی مجهز باشد به طوری‌که نگاشت
یک ریخت از گروه‌وارهای توپولوژیکی باشد.
گزاره ۴-۱۳٫ در یک حلقه-گروه‌وار توپولوژیکی ، قوانین جابه‌جایی زیر را داریم:
۱- .
۲- .
جایی‌که ترکیب‌های و تعریف‌شده باشند.
برهان. چون یک ریخت از گروه‌وارها می‌باشد پس:
