اگر این معادله را در معادله ی ۳-۳۸ جایگذاری کنیم داریم:

حال اگر  را مرتب کنیم برای  اریم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

بنابر این داریم:

برای مقادیر خیلی بزرگ  می توانیم بنویسیم:

اگر   را جایگذاری کنیم برای زمان های پایانی داریم :

با جایگذاری  در رابطه  برای وقیکه  داریم

بطور تقریبی داریم :

این رفتار مجانبی که به کمک حل عددی معادلات۳-۲۴، ۳-۳۱و ۳-۳۴ برای  با بهره گرفتن از مقادیر اولیه ی  که در شکل ۳-۱ رسم شده است تأیید می شود. می توان  را برحسب تابع انتگرال لگاریتمی زیر نیز نوشت:

حال بایستی فرض اصلی  را در معادله های فریدمن(معادله ی۳-۳۴) بررسی کنیم تا این جواب خود سازگار باشند یعنی جواب معادله ی ۳۴-۳ در زمان های پایانی به حل  نزدیک شود. هنگامی که در معادله ی ۳۴-۳ زمان  (یعنی در زمان های پایانی دوره ی غبار) عبارت  مقدار ناچیزی خواهد داشت که می توان از آن صرف نظر کرد از طرفی عبارت  سریعتر  افت می کند  . پس معادله ی ۳۴-۳ به شکل زیر در مآید.

از طرفی وقتی جهان فقط شامل غبار تنها باشد جواب معادله فریدمن به شکل زیر است.

پس جواب  در زمان های پایانی عصر غبار یک رفتار همه جایی دارد و با ۳-۳۴ سازگار است. اگر شکل معادله ی ۳-۴۳را بررسی کنیم مشاهده می کنیم که  با زمان افزایش می یابد البته تا زمانی که این رشد برای عبارت هایی نمایی سمت راست معادله ی ۳-۳۴ اثر قابل توجهی داشته باشد. آهنگی که α با آن رشد می کند با چگالی نهایی ماده که رابطه مستقیمی با  دارد کنترل می شود. مقادیر بیشتر چگالی ماده (و بنابراین  ) باعث رشد بیشتر α می شود. اما به خاطر تغییرات زمانی لگاریتمی وابستگی به  و  ضعیف است  .

شکل۳-۱ نمودار تغییرات  برحسب  رسم شده است که در زمان های پایانی دوره ی غبار با را رابطه  سازگاری دارد  .

۳-۳ عصر سلطه تابش^[۹]

اگر فرض کنیم در عصر تابش  و وابستگی زمانی فاکتور مقیاس به صورت  باشد. این فرضیات ما را به حل معادله ی ۳-۳۱هدایت می کند  .

برای معادله ۳-۵۳ یک جواب حدسی به صورت زیردر نظر می گیریم.

این جواب را امتحان در معادله ی ۳-۵۳ می کنیم

پس جواب ۳-۵۴ یک جواب دقیق برای ۳-۵۳ است. برای بررسی پایداری این جواب یک اختلال به صورت  به این جواب اضافه می کنیم.

برای اختلال های بزرگ  است. بنابراین می توان از آن صرف نظر کرد در این صورت معادله ۳-۵۹ به شکل زیر در می آید  .

که در آن  یک ثابت اختیاری است. هنگامیکه  افزایش یابد جواب این معادله به  نزدیک می شود که همان مشتق جواب ویژه  با علامت مخالف است. پس برای مقادیر  بزرگتر از این، جواب  صفر است یعنی  ثابت است مگر اینکه اختلال  کوچک باشد و به جواب حل دقیق ۳-۵۴ نزدیک شود.
برای ایجاد پایداری جواب حل دقیق نیاز به بررسی اختلال های کوچک در اطراف آن داریم.

برای حل معادله ی۶۱-۳ با تغییر متغیر  داریم:

جواب معادله ی ۳-۶۴ به صورت زیر است.

جواب  و در نهایت ثابت ساختار ریز α به صورت زیر است

هنگامی که  جواب ۳-۶۷ به شکل زیر در می آید: