که در آن H و H_p ماتریس ژاکوبین h نسبت به x و p است. معادلات بالا را می‌توان به دو صورت همزمان و ترتیبی حل کرد.
روش حل همزمان شامل تخمین بردار حالت گسترش‌یافته (۲-۹) با بهره گرفتن از بردار اندازه ­گیری z است. معادلات بالا به طور همزمان بر حسب p و x با بهره گرفتن از روش گاوس_نیوتون و یا روش­های جایگزین مشابه حل می­ شود. هر اطلاع قبلی(p₀) از مقدار p می ­تواند به عنوان مقدار اولیه به معادله اضافه شود.
(‏۲‑۹)
معادلات ذکرشده به ترتیب نیز می ­تواند حل شود. ابتدا با ثابت نگه‌داشتن مقدار p به تخمین حالت می­پردازیم. با تطبیق پارامتر به طور متوالی و تکرار تخمین حالت می‌توان به نتیجه رسید. مشخص است که بازده این پروسه به توانایی الگوریتم به بهبود سریع پارامترها بستگی دارد. آزمایش‌ها با روش گاوس_نیوتون برای حل معادله دوم همگرایی خوبی را از خود نشان داده است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

در[۹] از روش ترتیبی برای تخمین پارامتر استفاده کرده است. همان طور که بیان شد در این روش معادله تخمین حالت به دو معادله مجزا بر حسب x وp تبدیل می­ شود. در روش ترتیبی ابتدا معادله مربوط به x را حل کرده و سپس به سراغ به‌روزرسانی کردن متغیرهای p می­رویم. در اینجا مرحله اول تخمین به اتمام رسیده است. این مرحله را آن‌قدر تکرار می­کنیم تا پارامترها و متغیرهای حالت مسئله به مقدار نهایی همگرا شوند. این راه ممکن است به محاسبات و زمان زیادی نیازمند است؛ بنابراین بهتر است در هنگام به‌روزرسانی کردن متغیرها از روش دیگری استفاده کنیم. در[۹] روشی برای به‌روزرسانی کردن پارامترها بر اساس آنالیز بردار باقیمانده ارائه می­دهد. در این روش از رابطه­ای میان باقی­مانده و خطای پارامترها استفاده می­ شود. در هر مرحله پس از تخمین حالت با بهره گرفتن از باقی­مانده­ها، خطای پارامترها محاسبه‌شده و به این طریق پارامترها به‌روزرسانی می­ شود. این روش به زمان حل کوتاه­تری نیاز دارد.
در این مقاله روش تحلیل باقی­مانده برای تعیین خطای پارامترها به کار گرفته شده است. برای بررسی روش ابتدا به پیدا کردن خطای تک پارامتر مجهول پرداخته می­ شود.
تابع مربوط به تخمین حالت سیستم را به شکل زیر می‌توان نوشت:
(‏۲‑۱۰)
که در آن زیرنویس s بیانگر اندازه ­گیری­هایی هستند که برای تخمین پارامتر مورد نظر دخیل هستند.
X بردار حالت صحیح شبکه
P مقدار صحیح پارامتر مورد نظر
P* مقدار پارامتر همراه با خطا
و e خطای اندازه ­گیری است.
عبارت داخل براکت معادله (۲-۱۰) مربوط به خطای اندازه ­گیری است. مقدار خطای اندازه ­گیری شده در این معادل را می‌توان به صورت زیر خطی کرد:
(‏۲‑۱۱)
که در آن بردار ستونی n بعدی از مشتقات جزئی h_s نسبت به p است و e_p مقدار خطای پارامتر است (p-p*).
با بهره گرفتن از یک رابطه حساسیت شناخته‌شده بین باقی­مانده و خطای اندازه ­گیری­ها رابطه زیر را می‌توان نوشت:
(‏۲‑۱۲)
که در آن
(‏۲‑۱۳)
می‌توان رابطه­ای خطی بین باقی­مانده اندازه ­گیری­ها (r_s) و خطای پارامتر e_p تعریف کرد. با محدود کردن تخمین پارامتر بهs اندازه ­گیری که در تخمین پارامتر p نقش دارند و با توجه به رابطه (۲-۱۱) می‌توان نوشت:
(‏۲‑۱۴)
که در آن w_ss زیر ماتریسی از w است که مطابق با s اندازه ­گیری دخیل در تخمین پارامتر تعریف می­ شود. معادله (۲-۱۴) یک رابطه خطی میان باقی­مانده s اندازه‌گیریr_s و خطای پارامتر e_p را در حضور نویز نشان می­دهد. رابطه بالا را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
(‏۲‑۱۵)
که در آن R_s ماتریس کوواریانس است. بقیه متغیرها نیز به صورت قبل تعریف می­ شود.
در حقیقت، معادله (۲-۱۵) در مسائل کاربردی استفاده نمی­ شود چرا که شامل بردار w_ss است. برای حل این مشکل راهکاری ساده ارائه‌شده است. از رابطه (۲-۱۳) می‌توان نوشت:
(‏۲‑۱۶)
که در آن G ماتریس بهره سیستم است که در انتهای تخمین حالت سیستم قابل‌محاسبه خواهد بود. بردار n بعدی زیر را تعریف می­کنیم:
(‏۲‑۱۷)
که مؤلفه‌های آن به صورت زیر خواهد بود:
(‏۲‑۱۸)
با بهره گرفتن از رابطه (۲-۱۶) و (۲-۱۷) رابطه (۲-۱۵) به صورت زیر در خواهد آمد:
(‏۲‑۱۹)
در رابطه بالا برای محاسبه e_p، ابتدا y_s را از رابطه زیر محاسبه می­کنیم:
(‏۲‑۲۰)
با جایگذاری رابطه (۲-۴۰) در رابطه (۲-۴۱) خواهیم داشت:
(‏۲‑۲۱)
این رابطه، رابطه نهایی برای بدست آوردن خطای پارامتر است. با قرار دادن مقدار خطا در رابطه زیر به مقدار جدیدی که به مقدار صحیح پارامتر است نزدیک می­شویم:
(‏۲‑۲۲)
با تکرار مراحل بالا و همگرایی مسئله، به مقدار صحیح پارامترها دست خواهیم یافت.
محاسبه خطای پارامتر به روش گسترش بردار حالت
یکی دیگر از روش­های تخمین پارامتر روش گسترش بردار حالت سیستم با پارامترهایی از سیستم است که در صحیح بودن آن‌ها تردید داریم. در این روش مسئله با اضافه شدن تعداد پارامترهای مجهول به بردار حالت، به یک مسئله بدحالت تبدیل خواهد شد. در مقالات مختلف به حل این مشکل پرداخته شده است. از کاربردی­ترین این روش­ها می‌توان به حل مسئله با روش فیلتر کالمن و حل به روش معادله معمولی اشاره کرد[۶] . در ادامه به طور مختصر به این دو روش خواهیم پرداخت.
محاسبه خطای پارامتر به روش معادله معمولی در تخمین حالت
اگر خطای پارامتر در شبکه ظاهر شود تخمین حالت با نتایج نادرست همراه خواهد بود. در[۷] ابتدا رابطه­ای بین خطای پارامترها و نتایج تخمین حالت بیان شده است. رابطه معرفی‌شده در ادامه برای پیدا کردن خطای پارامترها مورد استفاده قرارگرفته است. در این قسمت دو نوع مختلف خطای پارامتر بررسی شده است. اولین حالت خطای پارامتر در المان سری (خط و ترانسفورماتور) و دیگری در المان­های موازی (خازن موازی و راکتور) است.
تأثیر خطای پارامتر را می‌توان در ماتریس ژاکوبین نشان داد. H_t را ماتریس ژاکوبین صحیح شبکه در نظر بگیرید. H ماتریس خطا دار و B خطای ماتریس ژاکوبین است بطوریکه:
(‏۲‑۲۳)
می‌توان نشان داد که تخمین بردار حالت X و بردار باقی­مانده مربوطه r با استفاده ازH در تخمین حالت به صورت زیر در خواهد آمد:
(‏۲‑۲۴)
(‏۲‑۲۵)
که در آن x بردار حالت صحیح، M در قسمت قبل معرفی‌شده است، (I-M) ماتریس حساسیت باقی­مانده اندازه ­گیری­ها و =Bxζ به عنوان بردار بایاس ظاهر شده‌اند.
خطای پارامتر در المان سری: