(۳-۲۵)
بنابراین خواهیم داشت :

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۳-۲۶)
که ، مجموع انرژی کرنشی المان­ها تحت شرط مرزی (۱) از جدول(۳-۱)، است. به همین ترتیب با اعمال شرایط مرزی­های خاصی سایر مولفه­های ماتریس الاستیک به دست می­آیند، این شرایط مرزی­ها و روابط بین انرژی کرنشی ناشی از اعمال این شرایط و مولفه های ماتریس الاستیک در جدول(۳-۱) ذکر شده است]۲۷[. به این ترتیب با اعمال محاسبات ساده­ای می­توانیم ماتریس موثر الاستیک را تخمین بزنیم.
جدول ۳- ۱- شرایط مرزی اعمالی برای محاسبه ماتریس الاستیک موثر سه بعدی]۳۰[.
درحالت دو­بعدی نیز ماتریس الاستیک موثر به صورت زیر بیان می­ شود.
(۳-۲۷)
در حالت دو­بعدی نیز، اگر ، را ماتریس کرنش ریزساختارها و ، را ماتریس تنش ریزساختار­ها و را انرژی کرنشی الاستیک ریز­ساختارها در نظر بگیریم، در این صورت در حالت الاستیک داریم:
(۳-۲۸)
در رابطه فوق ، مساحت مدل است.
برای دستیابی به خواص معادل همگن مدل، ماتریس تنش موثر و ماتریس کرنش موثر را به عنوان مشخصه­های ماکروسکوپیک ریز­ساختارها در نظر می­گیریم و آنها را به ترتیب با و نشان می­دهیم و به صورت روابط زیر بیان می­کنیم:
(۳-۲۹)
(۳-۳۰)
انرژی کرنشی ریزساختارها برابر است با انرژی کرنشی معادل همگن آن مدل تحت شرایط مرزی یکسان، بنابراین می­توانیم انرژی کرنشی مدل را بر حسب مشخصه­های ماکروسکوپیک ریزساختارهای آن بیان کنیم:
(۳-۳۱)
حال کرنشی معادل واحد در جهت ۱، به مدل اعمال می­کنیم.
(۳-۳۲)
این شرط مرزی در جدول(۳-۲) نشان داده شده است، در این صورت تنش موثر برابر رابطه (۳-۳۳) خواهد شد.
(۳-۳۳)
حال با جاگذاری در معادله (۳-۳۱) انرژی کرنشی معادل همگن برابر خواهد بود با:
(۳-۳۴)
بنابراین خواهیم داشت :
(۳-۳۵)
که ، مجموع انرژی کرنشی المان­ها تحت شرط مرزی (۱۰) است، به همین ترتیب با اعمال شرایط مرزی­های خاصی سایر مولفه­های ماتریس الاستیک به دست می­آیند، این شرایط مرزی­ها و روابط بین انرژی کرنشی ناشی از اعمال این شرایط مرزی­­ها و مولفه های تانسور الاستیک به طور خلاصه در جدول(۳-۲) ذکر شده است.
جدول ۳- ۲ -شرایط مرزی و بارهای اعمالی و مولفه­های ماتریس الاستیک دو­بعدی]۷[.
۳-۳-۴ پیش بینی ضرایب انبساط حرارتی موثر:
مطابق معادله (۳-۱۸) رابطه بین تنش و کرنش موثر در حالت ترموالاستیک بصورت زیر قابل بیان است:
(۳-۳۶)
(۳-۳۷)
(۳-۳۸)
انرژی کرنشی وابسته به ریزساختارها () را بصورت رابطه (۳-۳۹) تعریف می­کنیم.
(۳-۳۹)
از جدول(۳-۲)، شرایط مرزی ۱ ، ۲ و ۳ را درنظر می­گیریم. شرایط مرزی ۱، معادل است با :
(۳-۴۰)
که بالانویس (۱) بیانگر شماره شرایط مرزی است.
جدول ۳- ۳- شرایط مرزی اعمالی برای محاسبه ضرایب انبساط حرارتی موثر]۳۰[.
به­عبارتی در شرط مرزی ۱، مدل اولیه فقط مجاز به جابجایی در راستای (۱) است و در جهات (۲) و (۳) محدود شده است. با جاگذاری روابط (۳-۴۰) در معادلات (۳-۳۶)، (۳-۳۷) و (۳-۳۸) داریم:
(۳-۴۱)
(۳-۴۲)
(۳-۴۳)
با اعمال شرایط مرزی (۲) و (۳) از جدول(۳-۳) ، به­ طور مشابه روابط زیر استخراج می­گردند:
(۳-۴۴)
(۳-۴۵)
(۳-۴۶)
(۳-۴۷)
(۳-۴۸)
(۳-۴۹)
در جدول(۳-۲)، با در نظر گرفتن جابجایی و نیروی سطحی ، مدل تحت شرایط مرزی۴، معادل شرایط مرزی ۱ است اگر روابط (۳-۵۰) و (۳-۵۱) برقرار باشند.
(۳-۵۰)
(۳-۵۱)
در این روابط ، سطح تماس دو فاز ماده است. لذا انرژی کرنشی تحت شرایط مرزی­های ۱ و ۴ باید معادل همدیگر باشند، به عبارتی می­توان رابطه (۳-۵۲) را نتیجه­­گیری کرد.
(۳-۵۲)
که ، انرژی کرنشی تحت شرایط مرزی ۱ و انرژی کرنشی تحت شرایط مرزی ۴ است. به طور مشابه نشان داده می­ شود که معادل مدل تحت شرایط مرزی ۷ که در جدول (۳-۳) نشان داده شده است، میدان جابجایی یکسانی با شرایط مرزی ۶ دارد. لذا انرژی کرنشی معادل مدل تحت این دو شرط مرزی یکسان­اند، به عبارتی:
(۳-۵۳)
که و به ترتیب انرژی­های کرنشی معادل همگن مدل تحت شرایط مرزی­های ۵ و ۶ هستند. اگر انرژی کرنشی مدل را تحت شرایط مرزی۷ با نمایش دهیم در آن صورت می­توانیم عبارت زیر را بنویسیم:
(۳-۵۴)
که با مقایسه رابطه فوق با رابطه (۳-۵۵) نتیجه می­گیریم:
(۳-۵۵)