در معادلات فوق نیروی محوری خارجی میباشد و به علت فشاری بودن برابر میباشد که P همان نیروی کمانش میباشد . بنابراین معادلات پایداری بصورت زیر بدست میآیند.
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۳-۵۷)
(۳-۵۸)
۳-۵۹))
فصل چهارم
نتایج
۴-۱- مقدمه
در بسیاری از مسائل فیزیک که در اطراف ما اتفاق میافتد، ریاضیات کاربرد بسیار وسیعی دارد، برای حل این مسائل، ریاضیدانان و فیزیک دانان زیادی در این زمینه از قرنها پیش مشغول فعالیت بوده اند وموفق شده اند روشهایی برای حل این مسائل کشف کنند. دلیل امر نیز شاید این باشد که حل بسیاری ازپدیدههای فیزیکی بوسیله معادلات دیفرانسیل تعیین میشوند. از این رو در دو قرن اخیر راه حلهای تقریبی زیادی برای حل معادلات دیفرانسیل پیشنهاد شده است. در این رابطه حل دقیق اغلب معادلات دیفرانسیل حاکم بسیار مشکل و گاه غیر ممکن است. بسیاری از این روشها پیش از پیدایش روشهای اجزا محدود، حجم محدود، تفاضل محدود و باقیمانده وزنی بودند. بسیاری از معادلات پایداری در پوستهها به صورت تحلیلی قابل حل نمی باشند و برای حل آنها باید ازروشهای عددی و یا تخمینی استفاده نمود. تفاوت بین روشهای تحلیلی و تخمینی در بعضی از مواردبه طور کامل واضح نیست. منظور از روش تحلیلی روشی است که در آن معادلات دیفرانسیل حاکم بهصورت فرم بسته و دقیق قابل حل باشد.
۴-۲- تعریف روش دیفرانسیل مربعی
روش دیفرانسیل مربعی[۱۰-۱۴] به عنوان یک روش عددی موثرو ساده ودر عین حال دقیق جهت حل معادلات دیفرانسیل جزئی خطی و غیر خطی از مقدار مسائل مرزی مطرح می شود و به غیر از این برای مسائل چندبعدی نیز قابل تعمیم میباشد .روش مذکور برای اولین بار در سال ۱۹۷۱توسط آقای بلمن[۴۹] ابداع و مورد استفاده قرار گرفت.مسائل مهندسی زیادی را می توان با این روش تحلیل نمود از جمله مسائل ناویر استوکس، ارتعاشات ورقهای نازک، ارتعاشات تیرها و… .
روش کلی مبتنی بر تقریب و تخمین مشتقات جزئی از یک تابع نسبت به یک متغیر در هر نقطه مجزا است،به طوری که جمع خطی مقادیر وزنی تابع در تمام نقاط مجزا در میدان وسیعی از متغیرها انتخاب می شود. برطبق این روش کلی می توان یک مساله دوبعدی یا متغیرهای اصلی را در یک میدان چهار گوش حل کرد. محاسبه توابع وزنی اولین ومهمترین گام در استفاده از این روش می باشد.به طور کلی “بلمن “دو روش جهت محاسبه توابع وزنی ارائه کرد. آقای بلمن ۱۹۷۲روابط زیر رابه دنبال مفهوم انتگرال کلاسیک مطرح کرد:
(۴-۱)
و همین طور:
(۴-۲)
که رابطه ۵-۱ برای مسائل یک بعدی و رابطه ۵-۲ برای مسائل دوبعدی کاربرد دارند. فعلاً مسائل یک بعدی را در نظر گرفته و بعدا برای حالت های دو بعدی تعمیم داده خواهدشد. در رابطه( ۵-۱) مشتق مرتبه اول )نسبت به x در است. به طور آشکار راهنمای روند در این تکنیک تعیین توابع وزنی میباشد. بلمن دو روش برای محاسبه این ضرایب ارائه کرد. اولین روش اینست که اجازه دهیم معادله (۵-۱) برای توابع معیار زیر صحیح باشد که به یک مجموعه از معادلات جبری خطی منجر می شود.
(۴-۳)
این سیستم معادله یک جواب یکتا داردزیرا ماتریس ضرایبش از نوع واندرموند است و هنگامی که Nبزرگ باشد ماتریس بدحالت شده و معکوس کردن آن دشوار است. دومین روش تفاوتش با روش اول فقط در نوع توابع وزنی (معیار ) است که در این روش توابع وزنی بصورت زیر تعریف می شوند:
(۴-۴)
که در رابطه بالا چند جمله ای لژاندر[۵۰]مرتبه N ام است.
با بهره گرفتن از توابع معبار بالا بلمن و همکارانش یک فرمول جبری ساده برای محاسبه بدست آوردند اما به شرطی که مختصات نقاط شبکه بصورت ریشه های چندجملهای لوژاندر مرتبه Nام انتخاب شوند. البته برای رفع نواقص و محدودیت های فوق روش دیفرانسیل کوادراچر تعمیم یافته در سال ۱۹۹۱توسط شو برای تعیین ضرایب وزنی توسعه داده شد.
۴-۳–چند جمله ای تقریبی مرتبه بالا و بردار فضایی خطی
روش دیفرانسیل مربعیتعمیم یافته مبتنی بر تحلیل چندجملهای تقریبی مرتبه بالاست.واضح است که تابع یکنواخت و سلیس در یک محدوده می تواند توسط یک چند جملهای مرتبه بالابه طور دقیق برحسب قضیه چند جملهای وییراستراس تقریب زده شود.بدنبال این قضیه پیشنهادشد که حل یک معادله یک بعدی می تواندبه یک چندجملهای با مرتبه N-1)) تقریب زده شود.
(۴-۵)
نشان دادن اینکه چندجملهای از درجه پایینتر از N-1یا برابر آن، یک بردار فضایی خطیNبعدی را تشکیل میدهد ساده است. از مفهوم استقلال خطی پایه های یک بردار فضایی خطی مانند یک زیرمجموعه مستقل خطی و محدودههای تمام فضا می تواند مطرح شود. در اینجا اگر چند جملهایهای اصلی در باشد،آنگاه می تواند بوسیله عبارت زیر بیان شود.
(۴-۶)
به طور واضح اگر همه چند جملهایهای اصلی یک رابطه خطی مانند معادله (۱-۲) را ارضا کنند بنابرین هم این کار را می کند.در بردار فضایی خطی ممکن است چند مجموعه از چند جملهایهای اصلی وجود داشته باشد. هر مجموعه از چند جملهایهای اصلی می تواند بطور یکتا توسط مجموعه دیگری از چندجملهایهای اصلی بیان شده باشد.دیده شد که اگر چند جملهای اصلی بصورت انتخاب شده باشد همان سیستم معادله (۳-۳) توسط اولین روش بلمن داده شده می تواند بدست آید.اگر چندجملهای اصلی به همان فر
م معادله (۵-۳) گرفته شده باشد، همان رابطه توسط دومین روش بلمن داده شده می تواند بدست آید.
۴-۴- ضرایب وزنی از مشتق مرتبه اول
بطور کلی روش GDQچند جملهای اصلی را بعنوان چند جملهای درونیاب لاگرانژ انتخاب میکند:
(۴-۷)
البته رابطه بالا را میتوان بسادگی رابطه زیر نوشت:
(۴-۸)
وقتی که:
و میدانیم که همان مشتق اول است.
مختصات نقاط شبکه هستند و ممکن است بطور دلخواه انتخاب شوند. برای سادگی میتوان نوشت:
(۴-۹)
وداریم : (۳-۱۰)
که در فرمول بالا دلتای کرونوکر است و بصورت زیر تعریف می شود:
(۴-۱۱)
بنابرین داریم که:
(۴-۱۲)
که مشتق مرتبه mام را نشان میدهند .از معادلات قبلی داریم :
(۴-۱۳)
(۴-۱۴)
طبق روابط قبلی:
(۴-۱۵)
(۴-۱۶)
با جایگذاری در روابط (۵-۱۳) داریم:
