این معادله را حول نقطه‌ی بسط می‌دهیم:
(۱-۹۴)
که در آن .
از معادله‌ی ژئودزیک به دست می‌آوریم:
(۱-۹۵)
در نتیجه:
(۱-۹۶)
گیریم مختصات جدید در نزدیکی به صورت باشد. یعنی:
(۱-۹۷)
این تبدیل مختصات را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
(۱-۹۸)
این تبدیل تا مرتبه‌ی s2 صادق است. به عبارت دیگر تعریف مختصات جدید یکتا نیست. اختلاف دو دسته مختصات از مرتبه‌ی s2 است . معادلات ژئودزیک از نقطه ی در مختصات جدید همان است.
شکل متریک در این مختصات به صورت زیر تبدیل می شود:
(۱-۹۹)
حالا معادله ی ژئودزیک را در این مختصات با مقایسه می‌کنیم، پس:
(۱-۱۰۰)
زیرا ها بردار دلخواه هستند. به همین دلیل در نقطه ی ۰=s داریم:
(۱-۱۰۱)
یعنی مشتقات اول در این نقطه صفر می شود:
(۱-۱۰۲)
می توان نشان داد در این نقطه . تبدیل مختصات در این نقطه باعث تبدیل خطی مختصات ریمان می شود.
مختصاتی که در مبدا آن ، مختصات بهنجار ریمان خوانده می شود.
۱-۱۳ فرمول بندی لاگرانژی نسبیت عام
ساده ترین راه برای ساختن کمیتی نرده ای از متریک و مشتقات آن است که با انجام ادغام روی تانسور انحنا به دست آید، یعنی استفاده از نرده ای ریچی. با توجه به اینکه در فضای ریمانی با متریک دلخواه هستیم، لاگرانژی باید به صورت چگالی باشد. در حالت کلی می نویسیم:
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۱-۱۰۳)
که منظور از ، لاگرانژی ماده است. بخش اول را که مربوط به گرانش است لاگرانژی هیلبرت می نامند. اشکال ظاهری لاگرانژی هیلبرت این است که ظاهرا مشتق مرتبه ی دوم متریک آن است، که در این صورت منجر به دینامیکی می شود که در آن مشتق مرتبه ی سوم میدان حضور دارد که مطلوب نیست. ابتدا نشان می دهیم که جمله های مشتق دوم به صورت مشتق یک تانسور وارد می شوند که در کنش برای به دست آوردن معادله ی دینامیکی بی اثر است.
۱-۱۴ شکل کنش هیلبرت
لاگرانژی به این صورت است:
(۱-۱۰۴)
جملات با مشتق دوم متریک در دو جمله ی اول پیش می آید که آنها را به طریق زیر تغییر می دهیم:
(۱-۱۰۵)
مشتق را با بهره گرفتن از روابط زیر حساب می‌کنیم:
(۱-۱۰۶)
(۱-۱۰۷)
در نتیجه داریم:
(۱-۱۰۸)
به این ترتیب مشتق های و به حاصلضرب می شود. نهایتا به دست می آوریم:
(۱-۱۰۹)
که در آن
(۱-۱۱۰)
بنابراین لاگرانژی موثر کمیتی است که تنها مشتق مرتبه ی اول متریک را در بردارد . نکته ی قابل تامل این است که G یک کمیت نرده ای نیست، مثلا در مبدا مختصات ریمان G برابر صفر می شود . اما داریم:
(۱-۱۱۱)
چون سمت چپ ناوردا است پس سمت راست نیزباید ناوردا باشد. علت آن است که گرچه ها تانسور نسیتند، اما تفاضل ها ، یا تانسور است. گرچه جمله ی متناسب با G لاگرانژی موثر است، اما چون وردش G ساده نیست، بهتر است وردش مستقیما با انجام شود.
۱-۱۵ وردش لاگرانژی ماده و محاسبه ی انرژی تکانه
هر گاه (چگالی) لاگرانژی یک میدان باشد، تانسور انرژی آن از رابطه زیر به دست می آید:
(۱-۱۱۲)
A، مجموعه ای از شاخص های بیانگر متغیر میدان است و معمولا تانسوری متقارن نیست. برای اینکه بتوان تکانه ی زاویه ای تعریف کرد (که پایسته باشد)، باید آن را متقارن ساخت. روش های متقارن سازی گوناگونی وجود دارند و با
