(۲-۱۳-ب)
برای مدول نشان داده شده در رابطه بالا می توان نشان داد که معادله ی انتگرالی را می توان به صورت دیفرانسیلی مشابه، به صورت زیر بیان کرد :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(۲‑۱۴)
که این معادله را برای مسائل یک بعدی می توان به صورت زیر بیان کرد :
(۲‑۱۵)
معرفی تئوری های ورق
برای مدل سازی رفتار دینامیکی و استاتیکی ورق ها تئوری های متفاوتی وجود دارد. هر کدام از این تئوری ها مبتنی بر فرضیات، محدودیت، مزایا و کاربردهایی هستند. از جمله شناخته ترین تئوری های موجود میتوان به تئوری ورق کلاسیک، تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول که با نام تئوری میندلین ـ رایزنر[۲۹] نیز شناخته می شود و تئوری های مرتبه بالای برشی مانند تئوری مرتبه سوم برشی یا تئوری ردی اشاره کرد. در ادامه این تئوری ها به طور جداگانه معرفی خواهند شد.
تئوری کلاسیک ورق
این تئوری را می توان تعمیم تئوری اویلرـ برنولی در مدل سازی تیر دانست. در این تئوری فرض می شود که هر مقطع از ورق پس از اعمال نیرو، به صورت صفحه ای صاف و عمود بر صفحه ی خنثی یا همان صفحه ی میانی باقی می ماند و از تنش ها وکرنش های برشی صرف نظر می شود. در این تئوری میدان جابجایی به صورت زیر تعریف می شود.
(۲‑۱۶)
که در آن ، ، مولفه های جابجایی نقاط در راستاهای به ترتیب ، ، هستند و ، ، به ترتیب جابجایی یک نقطه دلخواه در صفحه ی میانی ورق در راستاهای ، ، می باشند. این تئوری را می توان ساده ترین تئوری مورد استفاده در مدل سازی رفتار ورق ها دانست. حوزه ی اعتبار این تئوری تنها محدود به ورق های نازک( ورق های با نسبت طول به ضخامت بزرگتر از ۱۰) است و برای مدل سازی ورق های ضخیم باید از تئوری های دقیق تر استفاده کرد.
شکل ۲‑۴ میدان جابجایی در تئوری مرتبه اول برشی
تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول
همانطور که بیان شد برای مدلسازی ورق های ضخیم باید از تئوری های دقیق تر از تئوری کلاسیک استفاده نمود. تئوری تغییر شکل برشی مرتبه اول به عنوان یکی از پرکاربردترین تئوری های مورد استفاده در مدلسازی ورق های نسبتا ضخیم است زیرا علی رغم سادگی، دقت خوبی در مقایسه با تئوری مرتبه بالاتر دارد. در این تئوری فرض شود که هر مقطع عرضی از ورق به صورت صفحه ای صاف باقی می ماند ولی بر خلاف تئوری کلاسیک این صفحه الزاما عمود بر صفحه ی میانی ورق نیست. در این تئوری اثر تنش های برشی نیز در نظر گرفته می شود. در حالت کلی این تئوری دارای دقت بیشتری نسبت به تئوری کلاسیک است وبرای ورق های نسبتا ضخیم (ورق های با نسبت طول به ضخامت ۵ به ۱۰) به کار می رود.
در این تئوری میدان جابجایی به صورت زیر تعریف می شود.
(۲‑۱۷)
که در آن ، ، مولفه های جابجایی نقاط در راستاهای به ترتیب ، ، هستند و ، ، جابجایی یک نقطه دلخواه در صفحه ی میانی ورق در راستاهای به ترتیب ، ، می باشند و همچنین و به ترتیب بیانگر زاویه ی چرخش صفحه ی میانی حول محورهای ، هستند.
تئوری مرتبه سوم برشی
برای افزایش دقت، تئوری های برشی مرتبه بالاتر مورد استفاده قرار می گیرند. از جمله مهم ترین این تئوری ها می توان به تئوری برشی مرتبه سوم ردی اشاره کرد. در این تئوری بر خلاف تئوری های کلاسیک و برشی مرتبه اول، سطح مقطع ورق دیگر به صورت سطح صاف در نظر گرفته نمی شود به همین علت در این تئوری مقدار تنش برشی در راستای سطح مقطع ثابت نیست و در راستای سطح مقطع تغییر می کند و در سطوح بالا و پایین صفحه، این مقدار به صفر می رسد. میدان جابجایی این تئوری در زیر تعریف شده است:
