فرض کنید نشان دهنده مقدار مشاهده شده آماره باشد. با توجه به اینکه
را میتوان به صورت زیر نوشت:
بنابراین مقدار مشاهده شده آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
با توجه به اینکه توزیع آماره به پارامتر مجهول بستگی ندارد، تابعی ثابت و در نتیجه غیر نزولی نسبت به است.
در نتیجه p- مقدار تعمیم یافته به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۲-۴)
بنابراین براساس آزمون GV فرض برابری بردارهای میانگین رد می شود اگر p- مقدار رابطه (۳-۲-۴) کمتر از سطح معنی داری باشد. نکته مهم و قابل توجه در رابطه با آزمون GV این است که آماره پایا نیست.
برای روشن شدن موضوع فرض کنید بردارهای تصادفی به تبدیل شوند. در این صورت
و
در نتیجه
از طرفی
.
بنابراین است. همچنین با توجه به اینکه
میباشد. در نتیجه آماره در مخرج پایا نیست و به همین دلیل آماره پایا نمی باشد.
۳-۳- آزمون بوت استراپ پارامتری ( Parametric Bootstrap Test )
در این بخش به معرفی سومین آزمون تقریبی برای فرض برابری بردارهای میانگین زمانیکه ماتریسهای کوواریانس مجهول هستند، میپردازیم و در نهایت توزیع تقریبی آماره آزمون را زمانیکه دوجامعه داریم به دست میآوریم.
۳-۳-۱- آزمون بوت استراپ پارامتری
آزمون بوت استراپ پارامتری که به اختصار با نماد PB نمایش میدهیم، شامل نمونه گیری از مدلهای برآورد شده است. بدین صورت که نمونه ای از یک توزیع با پارامتر مجهول را در نظر میگیریم و پارامتر مجهول مورد علاقه را با توجه به نمونه تصادفی برآورد و سپس آن برآورد را جایگزین پارامتر مجهول کرده و نمونه ای دیگر از مدل برآورد شده تولید میکنیم. (Efron, 1993) از این گونه نمونهها برای تقریب زدن توزیع آماره آزمون تحت فرض استفاده می شود.
براساس مطالب گفته شده در فصل اول تحت فرض ، ها میانگین یکسان دارند. همچنین آماره معرفی شده در رابطه ( ۱-۳-۴ ) نسبت به پارامتر مکان پایا است زیرا در صورت تبدیل به داریم:
بنابراین و در نتیجه است. همچنین
در نتیجه
.
بنابراین بدون کم شدن از کلیت مسئله میتوان میانگین مشترک تحت فرض صفر را بردار صفر در نظر گرفت و توزیع آماره را تحت فرض صفر یافت.
در نتیجه براساس فصل اول توزیع و توزیع دارند.
با توجه به اینکه است و همچنین با بهره گرفتن از روش بوت استراپ پارامتری، توزیع و توزیع دارند به گونه ای که مقادیر مشاهده شده هستند.
بنابراین کمیت محوری بوت استراپ پارامتری به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۳-۱)
به گونه ای که
(۳-۳-۲)
و یا به صورت معادل
(۳-۳-۳)
برای مقدار مشاهده شده از آماره در رابطه ( ۱-۳-۴ )، p- مقدار بوت استراپ پارامتری به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۳-۴)
بنابراین براساس آزمون PB فرض برابری بردارهای میانگین رد می شود اگر p- مقدار فوق از سطح معنی داری کمتر باشد.
۳-۳-۲- تجزیه چولسکی ( Cholesky Factor )
اگر یک ماتریس متقارن و معین نامنفی باشد، آنگاه را میتوان به صورت تجزیه کرد به گونه ای که ماتریس ریشه یا ضریب ماتریس نامیده می شود. دو نوع تجزیه ماتریس عبارت است از:
تجزیه طیفی
تجزیه چولسکی
در این قسمت به معرفی تجزیه چولسکی میپردازیم و در نهایت با ارائه یک مثال این قسمت را به اتمام میرسانیم.
فرض کنید یک ماتریس متقارن حقیقی مقدار و معین مثبت باشد. با بهره گرفتن از الگوریتم زیر مؤلفه های ماتریس را به دست میآوریم:
.
در این صورت با بهره گرفتن از الگوریتم فوق یک ماتریس پایین مثلثی منحصر به فرد به دست میآوریم. ( Gentle, 1998 )
مثال ۳-۱: ماتریس را به صورت در نظر بگیرید. تجزیه چولسکی ماتریس به صورت زیر میباشد:
بنابراین ماتریس به صورت زیر میباشد:
.
