در این الگوریتم تا وقتیها متعلق به زیرفضای باشند، ها نیز متعلق به زیرفضای خواهند بود. در حقیقت قضیه زیر برای الگوریتم برقرار است.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

قضیه ۲ـ۶ : اگر الگوریتم فوق قبل از مرحله ام متوقف نشود، آن­گاه بردارهای برای
و برای تشکیل یک معادله می­ دهند، به عبارت دیگر
به علاوه بردارهای و به ترتیب پایه­ای برای زیرفضاهای
و می­باشند، و روابط زیر برای الگوریتم برقرار است:
که در آن و ماتریس­های هستند که ستون­های آن­ها به ترتیب و است. [۳۰]
مثال ۲ـ۴ : ماتریس نامتقارن را به صورت زیر در نظر بگیرید.
برنامه الگوریتم ناهرمیتی لنگزوس را به ازاء برای این ماتریس، جهت بررسی قضیه ۲-۴ به کار می­بریم.
الف ـ الگوریتم ناهرمیتی لنگزوس، ماتریس را با یک ماتریس سه قطری تشابه­سازی می­ کند، این ماتریس به صورت زیر است:
ب ـ ماتریس در رابطه به صورت زیر محاسبه می­گردد.
ستون آخر ماتریس در واقع همان بردار است.
ج ـ هر چند ماتریس­های و متعامد نیستند؛ ولی رابطه بین آن­ها برقرار است.
۲-۵-۲ نحوه محاسبه مقادیر ویژه و بردارهای ویژه در روش ناهرمیتی لنگزوس
مقادیر ویژه ماتریس سه قطری با هر یک از روش­های ذکرشده به دست می ­آید، فرض کنید این مقادیر باشند و بردارهای ویژه متناظر با این مقادیر …, باشند. مشابه با روش آرنولدی بردارهای ریتز عبارتند از: . این بردارها تقریبی از بردارهای ویژه ماتریس متناظر با مقادیر ویژه هستند.
به علاوه اگر یک بردار ویژه چپ ماتریس سه قطری متناظر با مقدار ویژه باشد، یعنی
در این صورت بردار ، یک بردار ویژه ماتریس متناظر با مقدار ویژه است.
لازم به ذکر است روش ناهرمیتی لنگزوس بر خلاف روش آرنولدی و هرمیتی لنگزوس یک روش تصویری متعامد نیست. یک روش تصویری متمایل محسوب می­ شود. به علاوه ماتریس­های و به دست آمده از الگوریتم ناهرمیتی لنگزوس متعامد نیستند؛ ولی رابطه بین آن­ها برقرار است.
نتیجه: ماتریس دلخواه مفروض است، در این فصل دو روش آرنولدی و روش ناهرمیتی لنگزوس برای ماتریس دلخواه مورد بحث قرار داده شد. در روش اول یک پایه متعامد برای زیرفضای کرایلف تولید می­ شود؛ در صورتی که در روش دوم، دو پایه متعامد تولید می­ شود. روش آرنولدی به خاطر خواص تعامدش برای ماتریس­های نرمال بهتر عمل می­ کند. از طرف دیگر روش ناهرمیتی لنگزوس تقریب­هایی از دو بردار ویژه راست و چپ را تولید می­ کند که برای برخی کاربردها مفید است.
۲-۶ الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد
تعداد مراحل تکرار در الگوریتم آرنولدی می ­تواند زیاد باشد، این تعداد قابل پیش ­بینی نیست و به خاصیت ماتریس بستگی دارد. تعداد تکرار بالا مستلزم حافظه­ کافی برای ذخیره­ی بردارهای آرنولدی است که این بسیار هزینه­بر است. به همین دلیل الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد ضمنی(IRA) هزینه­ها را وسیله محدود کردن بعد زیرفضای جستجوکاهش می­دهد. این بدان معنی است که تکرار بعد از یک تعداد مرحله متوقف می­ شود(این تعداد بزرگتر از تعداد مقادیرویژه خواسته شده است). در واقع بعد زیرفضای جستجو بدون اینکه ساختار زیرفضای کرایلف از بین برود، کاهش می­یابد.
الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد ضمنی اولین بار توسط سورنسون[۳۳] پیشنهاد شد. الگوریتم لنگزوس با شروع مجدد ضمنی مشابه با الگوریتم آرنولدی با شروع مجدد بیان شده است با این تفاوت که برای ماتریس­های متقارن کاربرد دارد. این الگوریتم همراه با الگوریتم لنگزوس با شروع مجدد ضمنی در بسته­ی نرم­افزاری ARPACK ارائه شد. پایه­ این الگوریتم­ها برای یافتن مقادیرویژه ماتریس اسپارس در متلب است.
۲-۶ -۱ الگوریتم تکرار آرنولدی - مرحله
ورودی الگوریتم : ماتریس و ماتریس شروع
خروجی الگوریتم: ماتریس هسنبرگی (مقادیرویژه آن تقریبا با مقادیربرابر است) و خطا
در این الگوریتم، با الگوریتم آرنولدی تکرار می­ شود. مشاهده می­ شود چگونه بعد زیر فضای جستجو بدون از بین رفتن اطلاعات مربوط به بردارهای ویژه کاهش می­یابند.
مرحله­ در الگوریتم فوق الذکر الگوریتم متعامدسازی گرام اشمیت را بیان می­ کند که بصورت زیر است:
بصورت قرارداد در نظر می­گیریم. هرچند متعامدسازی گرام اشمیت کلاسیک سریعتر است ولی به دقیقی متعامدسازی گرام اشمیت اصلاح شده نمی ­باشد برای همین اکثر مواقع کاملا بزرگ است. بنابراین متعامدسازی برای بدست آوردن تعامد مطلوب تکرار می­ شود.
اصلاحات ممکن مرحله­ که مربوط به تکرار دوم است بصورت زیر است:
همچنین داریم:
از طرفی
برای همین داریم:
تعداد تکرارهای بالاتر ممکن است ولی به ندرت لازم است.
بعد از اجرای الگوریتم ۲-۶ -۱، نسبت آرنولدی به صورت زیر است:
که بوسیله­ی موارد زیر قابل دسترس است:
اگر باشد آنگاه روی ماتریس پایا است بدین معنی است که
در واقع موقعیتی مناسب است که
به همین دلیل مقادیر ریتز و بردارهای ریتز، مقادیرویژه و بردارهای ویژه از هستند.
می­توان امیدوار بود که کوچک است آنگاه
آنگاه روی ماتریس پایا است، که با متفاوت است و انحراف آن به وسیله­ است که مقدار آن برابر است. می­توان گفت در شرایط مناسب مقادیرویژه از تقریب خوبی برای مقادیرویژه از هستند.
در ادامه بررسی می­کنیم چگونه می­توان یک یافت در صورتی که کوچک باشد.
۲-۷ شروع مجدد ضمنی
ابتدا از تکرار آرنولدی شروع می­کنیم
۲-۷ -۱ الگوریتم مرحله ضمنی بروی ماتریس
این الگوریتم پس از فراخوانی الگوریتم ۲-۶-۱ بدست می ­آید.
مرحله ضمنی بطوریکه بر روی ماتریس با انتقال را بکار می­گیریم.
تعریف می­کنیم . در واقع ضرب تا از ماتریس­های هسنبرگ یکانی است بطوریکه شامل زیر قطر ناصفر زیر قطر اصلی است.

همچنین تعریف می­کنیم
آنگاه از الگوریتم ۲-۶-۱ بدست می­آوریم:
یا