از لحاظ تاریخی اولین نظریهای که با بهره گرفتن از آن میتوان تابع توزیع رامحاسبه نمود توسط کریکوود ارائه شده است [۳۴]. این تئوری مشهور به تقریب برهمنهی بود:
(۳۶-۲)
علت استفاده از این تقریب وجود معادلات دقیق برای توابع توزیع n-مولکولی است برای [۳۵و ۳۶] داریم:
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
(۳۶-۲)
با ترکیب معادلات (۳۶٫۲) و (۳۷٫۲) معادلۀ انتگرالی YBG[29] بدست می آید. و در سال ۱۹۴۲ معادلۀ مشابهای توسط کریکوود بدست آمد. متاسفانه هر دوی این معادلات غیر خطی میباشند، حل آنها حتی با بهره گرفتن از روش های عددی مشکل است،. سلپیتر[۳۰] دومین رابطه دقیق را برای توابع توزیع دوجسمی و سه جسمی بدست آورد. هرچند که این رابطه به علت نامحدود بودن جملات در عمل نمی توان مورد استفاده قرار گیرد.
از طریق توپولوژی نیز برای بدست آوردن معادلۀ انتگرالی برای تابع توزیع از روش تبدیل استفاده شده است. در این روش از فرض وجود رابطهای بین تابع رابط کلی و مستقیم استفاده می شود و از طریق آن معادلۀ انتگرالی پرکوش-یوییک بدست می آید بطوریکه معادلات و فرضهای اساسی بدست آوردن این معادله اند. توابع توزیعی که از طریق معادلات انتگرالی بدست می آید معمولا بسیار پیچیدهاند و به جوابهای تحلیلی نمیانجامند. و به دلیل اینکه توابع پتانسیل نامشخص اند، برای بدست آوردن خصوصیات مایعات مخلوط نامناسب میباشد و بهتر است که ابتدا از حالت مایعات خالص شروع کرده و آن را به حالت مخلوط تعمیم دهیم. مدلهای اختلالی و وردشی در این زمینه موفق بوده اند. محاسبات مربوط به مخلوط از طریق این روشها از معادلات انتگرالی سادهتر بوده و زمان محاسبات را کاهش میدهد.
-۴-۲ آمارهای کوانتمی از مجموعه های تقریباً کلاسیک
کاملا مشخص است که مجموعه ای شامل تعداد زیادی از سیستمهای مکانیکی در تعادل آماری، از نظر احتمال توزیع انرژی، دارای خصوصیات آنسامبل کانونی گیبس باشند. خصوصیات ترمودینامیکی چنین آنسامبلی با بهره گرفتن از رابطه زیر بدست می آید
(۳۸-۲)
جمع بر روی تمامی حالتهای انرژی قابل دسترس انجام میگیرد. هنگامیکه معین باشد انرژی، آنتروپی و پتانسیل ترمودینامیکی آنسامبل از روابط زیر بدست میآیند:
(۳۹-۲)
با فرض معتبر بودن قوانین فیزیک کلاسیک هستند، که در حد صفر شدن ثابت پلانک، محقق می شود، مجموع حالتها را به طور قابل قبولی توسط انتگرال گیری روی فضای فاز آنسامبل میتوان بدست آورد.
(۴۰-۲)
به طوری که تابع هامیلتونی کلاسیکی شامل تکانه و مختصات مکانی میباشد، تعداد درجات آزادی سیستم است. انتگرال بر روی همه تکانهها و همه فضای ساختاری گرفته می شود. از انتگرال فاز گیبس ، انرژی، آنتروپی و پتانسیلهای ترمودینامیکی آنسامبلهای کلاسیک بجز پارامتر های جمع پذیر بدست می آید. برای سیستمهای مکانیک کوانتمی، ارزیابی پارامتر مشکل تر است. روش مستقیم شامل تعیین انرژی های مجاز سیستم بوسیله معادله شرودینگر با در نظر گرفتن محدودیتهای موجود بر خواص تقارنی تابع موج است. هر چند در بعضی حالات این روش به نسبت سختتر است. در اینجا این سؤال مطرح میگردد که آیا در این روش با بهره گرفتن از انتگرال گیبس ، بدون حل دینامیکی مسئله، جمع را میتوان به انتگرال تبدیل کرد؟ جواب مثبت است و پایه های چنین انتقالی توسط ون نیومن فراهم شده است[۳۷]. این روش توسط بلاخ[۳۱] [۳۸] و ویگنر[۳۲] [۱۰] در مسائل معین مورد استفاده قرار گرفته است. انتگرال فاز بدست آمده از این روش بطور قابل ملاحظهای از شکل کلاسیکی آن مشکلتر است. هرچند، برای سیستم هایی نزدیک به حالت کلاسیک است، ویگنر نشان داد که انتگرال را بر حسب توانهایی از میتوان بسط داد، بطوریکه جمله اول آن انتگرال گیبس است.
هدف ما در اینجا بدست آوردن بسطی برای برحسب توانهایی از میباشد.، مشابه آنچه ویگنر انجام داد، با شروع کردن از معادلهای که توسط بلاخ بدست آمد، بدست آوردن یک فرمول بازگشتی برای ضرایب در این بسط بطوری که محاسبات را ساده تر کند(نسبت به روش بکار برده شده توسط ویگنر) برای تقریب های بالاتر امکان پذیر میباشد. بعلاوه تصحیح اعمال شده بر که به علت محدودیت های تقارنی بر روی توابع موجی که از آمار فرمی-دیراک یا بوز-انیشتین پیروی می کند، بدست می آید. این تصحیحات توسط آلنبک[۳۳] و گراپر [۳۹] انجام گرفته اما ویگنر از آن چشمپوشی کرده است. ما در این پژوهش این تصحیحات را اعمال نمودهایم، و به نظر میرسد که تمامی تصحیحات کوانتمی لازم برای یافتن یک فرمول عمومی برای انتگرال فاز گیبس اعمال شده است.
-۱-۴-۲ تبدیل مجموع حالات
آنسامبلی شامل ذره یکسان با جرم که درمیدان نیروی پایستار حرکت می کنند را در نظر میگیریم. تابع پتانسیل سیستم شامل مختصه مکانی است که در فضای فاز تعریف میشوند. معادله شرودینگر را برای چنین سیستمی به صورت زیر میتوان نوشت:
(۴۱-۲)
همان ثابت پلانک میباشد که بر تقسیم شدهاست، عملگر لاپلاسین در فضای و توسط تابع موج نرمالیزه مربوط به تراز انرژی است.
مجموع حالات را توسط یک انتگرال در فضای فاز میتوان به صورت زیر بیان کرد.
(۴۲-۲)
که عملگر توسط رابطه زیر تعریف میشود
(۴۳-۲)
بنابراین معادله (۴۲-۲) را توسط رابطه و این حقیقت که توابع نرمالیزهاند و انتگرال (۴۲-۲) مشابه انتگرال فضای فاز گیبس میباشد میتوان محاسبه کرد. خاطر نشان میکنیم که دترمینان انتقال عنصر حجم در انتگرال کلاسیکی (۴۰-۲) به ازای هر تغییر کانونی مختصات تکانه یا پیکربندی مساوی واحد است. انتقال کانونی کلاسیک نیز با مورد مشابه انتقال مکانیک کوانتمی در انتقال مجموعه توابع متعامد یکسان است. از معادله (۴۲-۲) مشاهده می شود که مجموع قطری عناصر ماتریسی میباشد، که این عناصر توسط رابطه زیر تعریف می شود:
(۴۴-۲)
از این رو جمع عناصر قطری چنین ماتریسی تحت انتقال توابع موج ناوردا میماند، ممکن است نخواهیم از توابع ویژه اپراتور استفاده کنیم که بستگی به این واقعیت دارد که بخواهیم از ترکیب کانونی مناسبی از مجموعه تکانه و فضای مختصات در ارزیابی انتگرال فاز کلاسیکی گیبس بهره ببریم.
میخواهیم جمع بر روی انرژی را در انتگرال (۴۲-۲) بوسیله انتگرالگیری در فضای تکانه جایگزین کنیم. برای این منظور توابع ویژه عملگر انرژی جنبشی را انتخاب میکنیم. این توابع و تراز انرژی پیوسته به سادگی به صورت زیر می تواند نوشته شود.
(۴۵-۲)
که بردار تکانه و بردار شعاعی ذره ام میباشند. توابع ویژه عملگر در مختصات ذرات یا متقارناند یا پاد متقارن. اگر متقارن باشند بوسیله آمار بوز- انیشتین و اگر پاد متقارن باشند با بهره گرفتن از آمار فرمی- دیراک مورد مطالعه قرار میگیرد. ترکیب های خطی مناسبی از توابع ، چه متقارن و چه پاد متقارن، که برای بسط توابع مورد استفاده قرار میگیرند، باید ساخته شوند. ترکیب های خطی مورد نیاز را به صورت زیر میتوان نوشت.
(۴۶-۲)
مجموع را بر تابع، تقسیم کردیم تا به عملگر جایگشت اجازه دهیم ها را دوباره دربین ها در مجموع توزیع کنند. مرتبه جایگشت توسط مشخص می شود. زمانی که ذوج باشد عامل مساوی را دارد، و هنگامیکه فرد باشد مقدار آن خواهد بود. و سرانجام توابع در قالب جملههای مجموعه متعامد توسط انتگرال های فوریه بسط داده می شود، و مجموع بر روی اندیس توسط رابطه تکامل تعریف می شود:
(۴۷-۲)
که تابع دلتای دیراک میباشد، سرانجام معادله (۴۲-۲) را به شکل زیر میتوان بازنویسی کرد:
(۴۸-۲)
این انتگرال مشابه کوانتم مکانیکی انتگرال فاز گیبس است. محاسبه انتگرال فاز کوانتم مکانیکی (۴۸-۲) به تعیین توابع زیر مربوط می شود:
(۴۹-۲)
توجه کنید هنگامیکه به سمت صفر میل کند باید به تبدیل شود. علاوه بر این با مشتقگیری از دو طرف رابطه (۴۹-۲) نسبت به رابطه بلاخ بدست می آید:
(۵۰-۲)
این معادله که ممکن است به عنوان یکی از معادلات اساسی آمار کوانتمی در نظر گرفته شود، مشابه معادله شرودینگر وابسته به زمان است، که در آن به جای از استفاده شده است. بلاخ اشاره نمود که حل این معادلات ممکن است توسط توابع انتقال کنارد[۳۴] با جایگذاری به جای بدست بیاید، وی جوابهای دقیقی از معادله (۵۰-۲) در حالتهای خاص بدست آورده است. در اینجا ما برای بدست آوردن جوابهای تقریبی معادله (۵۰-۲) تلاش میکنیم، که با بهره گرفتن از بسط آن بر حسب توانهای میسر است. اگرچه این روش در اصل شباهتهایی با راه حل ونتزل-بریلوئن-کرامرز[۳۵] دارد اما در جزئیات متفاوت است. اجازه دهید فرض زیر را در نظر بگیریم:
(۵۱-۲)
که تابع هامیلتونی کلاسیکی معمولی است، است. با کمک معادله (۵۰-۲) و روابط
و
بعضی ها باید شرط زیر را ارضا کند:
(۵۲-۲)
به علت شرط مرزی در ، معادله (۵۲-۲) را میتوان به طور مناسبی به شکل یک معادله انتگرالی نوشت:
(۵۳-۲)
حل معادله (۵۳-۲) با تقریبهای متوالی به صورت زیر انجام میپذیرد:
(۵۳-۲)
جمله عمومی را می شود توسط فرمول زیر بدست آورد:
