مزایای روش تفاضلات محدود را می‌توان به شرح زیر خلاصه کرد:
با پیشرفت تکنولوژی، برنامه های کامپیوتری مناسب و تجهیزات لازم جهت به کار بردن این روش در دسترس می‌باشد.
به علت قابلیت تغییر زیاد، انواع و اقسام مسائل مربوط به آب‌های زیرزمینی را می‌توان با بهره گرفتن از این روش حل کرد. این روش قادر است معادلات غیر خطی را نیز حل نماید.
به کار بردن این روش ساده می‌باشد و به راحتی می‌توان تغییرات مورد نیاز را در هر زمانی به مدل وارد نمود.
نتایج به دست آمده از این روش دقت نسبتاً قابل قبولی دارند.
⦁روش‌های حل معادلات جریان در روش تفاضلات محدود
روش‌های محاسباتی مختلفی برای حل مسائل به روش تفاضلات محدود به کار میرود. نکتهای که بایستی در نظر گرفته شود این است که، برای هر مسئله راه حل انتخابی باید در جهت کم کردن خطا باشد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
همان طور که گفته شد هر معادله به تعدادی معادلات جزئی منتهی می‌شود. یعنی برای هر گره، در هردوره زمانی یک معادله چند مجهولی به دست می‌آید. اگر مدل مزبور دارای N گره وM دوره زمانی باشد، تعداد NM معادله به دست می‌آید. این معادلات به صورت ماتریس میباشند و روش‌هایی که برای حل آنها به کار برده می‌شوند، روش‌های حل ماتریس است. به طور کلی در هر دوره زمانی، ماتریسی به صورت AH=D وجود دارد که در آن:
A ماتریس ضرایب که به مشخصات شبکه و مشخصات هیدرولیکی آبخوان در آن شبکه بستگی دارد؛ H برداری شامل کلیه مجهولها و D برداری شامل کلیه اطلاعات معلوم مانند پمپاژ، تغذیه و شرایط مرزی میباشند.
این ماتریسها از دو روش مستقیم و یا تکرار حل می‌شوند و بیشترین زمانی که جهت اجرای مدل نیاز است صرف حل ماتریس می‌شود.
الف: روش مستقیم
به غیر از مسائل ساده، استفاده از روش حل مستقیم برای حل معادلات تفاضل محدود با توجه به امکان استفاده از کامپیوترهای پر سرعت، روشی غیر اقتصادی خواهد بود. روش مستقیم را می‌توان به چند روش تقسیم کرد (خلجی، ۱۳۷۶):
حل از طریق دترمینانها[۴۲]
حل از طریق حذف متوالی مجهولها[۴۳]
حل از طریق ماتریس معکوس[۴۴]
طبق نظر نارسیمهان و ویترزپون متداول ترین روش که برای مسائل جریان ناپایدار استفاده می‌شود، روش حذف متوالی مجهولها است که شامل روش حذف گاوس و روش چولسکی می‌باشد (Narsimhan and Witherspoon, 1977). این روش‌ها دو عیب دارند:
الف) حافظه بسیار زیادی نیاز دارند و برای مسائل پیچیده نمی‌تواند روش موثری باشد.
ب) در این روش چون اعداد گرد می‌شوند و عملیات ریاضی انجام شده زیاد است خطای ناشی از گرد کردن اعداد زیاد می‌شود و به صورت یک خطای قابل ملاحظه در می‌آید.
ب: روش تکرار
روش تکرار انواع مختلف دارد که شامل موارد زیر است (خلجی، ۱۳۷۶):
روش تکرار ژاکوب[۴۵]
روش تکرار گاوس-سیدل[۴۶]
روش فوق تمدد[۴۷]
روش حل صریح متناوب[۴۸]
روش حل غیر صریح با تکرار متناوب[۴۹]
از آنجا که روش تکرار با یک حدس اولیه شروع می‌شود، لذا دقت این روش به این حدس اولیه بستگی دارد. این خاصیت سبب می‌شود که این روش‌ها جهت حل حالت پایدار جریان، کمتر مورد استفاده قرار بگیرند (Narismhan and Witherspoon, 1977).
مجموعه معادلات تفاضل محدود برای هر بازه زمانی بازنویسی می‌شوند؛ بدین معنی که درهر بازه زمانی یک دستگاه معادلات داریم که بایستی همزمان حل شوند. هد در انتهای بازه زمانی مجهول و هد در ابتدای بازه زمانی معلوم است. پروسه حل برای هر بازه زمانی تکرار می‌شود تا هد در انتهای بازه به دست آید.
ج: روش صریح[۵۰]
به طوری که میدانیم شرایط اولیه آبخوان مشخص است یعنی هد در زمان t=0 معلوم می‌باشد و هدف تعیین کردن h در زمانهای بعدی است.
در این طریقه مقدار بار در زمان t معلوم است و میخواهیم بار را در زمان t+1 به دست آوریم. برای هر یک از گرهها در هر دوره زمانی می‌توان یک معادله جداگانه نوشت و مقدار ارتفاع آب در آن را به دست آورد. این روش را روش صریح مینامند چون برای هر گره یک معادله یک مجهولی به دست می‌آید که به طور مستقل قابل حل است.
در روش صریح از روش تفاضلات پیش رونده[۵۱] نسبت به زمان استفاده به عمل می‌آید. چون دراین روش ارتفاع سطح آب در شبکه ها در زمان معلوم است و با بهره گرفتن از آن مقدار h در زمان تعیین می‌شود (شمسایی، ۱۳۷۷).
روش مذکور دو مشکل اساسی دارد. اولین اشکال این است که هرگاه بازه زمانی بزرگ انتخاب شود، محاسبات ناپایدار است و خطاهای کوچک در حین محاسبات چندین برابر شده و بر روی نتایج اثر زیادی میگذارد. برای اینکه محاسبات پایدار شود و اشکال فوق به وجود نیاید باید شرایط زیر برقرار باشد:
(۲-۲۴)
یعنی باید زمان را به تعداد نسبتاً زیاد بازه زمانی تقسیم کرد و برای هر دوره زمانی محاسبات را انجام داد. اشکال دوم این روش این است که هر گاه h در یک سلول در یک دوره زمانی تغییر کند، این تغییر فقط باعث تغییراتی در سلول مجاور آن در دوره زمانی بعدی شده و در شبکه های اطراف به ترتیب در دوره های زمانی آتی اثر میگذارد (عطارزاده، ۱۳۷۰).
د: روش ضمنی[۵۲]
در این روش برای محاسبه تبادل آب بین سلولهای مجاور در هر دوره از ارتفاع آب در همان دوره زمانی استفاده می‌شود.
طرح ضمنی بر اساس تقریب تفاضلها در جهت عقب در رابطه با زمان نوشته می‌شود. شکل ۲-۴، یک هیدروگراف از مقادیر هد در گره i, j, k را نشان می‌دهد. زمان در دو نقطه روی محور افقی نشان داده شده است. ، زمانی که ترمهای جریان در معادله ۲-۲۱ محاسبه می‌شود و زمان قبل از است.
مقدار هد در گره i,j,k در این دو زمان به صورت و آورده می‌شود. برای به دست آوردن مشتق زمانی هد در زمان می‌توان از تقسیم کردن تغییرات هد - بر بازه زمانی - استفاده کرد که عبارتست از:
(۲-۲۵)
شکل (۲-۴): هیدروگراف برای سلول i, j, k (McDonald and Harbaugh, 1988)
بنابراین شیب هیدروگراف و یا مشتق نسبت به زمان، از تغییر هد در یک گره در فاصله زمانی که این تغییر رخ می‌دهد یعنی از تا به دست می‌آید. این شیوه محاسبات تقریبی، تفاضل رو به عقب نامیده می‌شود؛ زیرا برای یک فاصله زمانی از زمان محاسبه جریان به سمت عقب تخمین زده می‌شود. روش‌های دیگری هم برای محاسبه وجود دارد؛ به عنوان مثال، می‌توان فاصله زمانی را طوری انتخاب نمود که از زمان محاسبه جریان آغاز شود و به زمانهای بعدی منتهی گردد؛ یا فاصله زمانی را طوری انتخاب نمود که زمان محاسبه جریان در مرکز آن قرار بگیرد که در آن صورت، فاصله زمانی به زمانهای ما قبل و ما بعد زمان محاسبات بیشتری تسری می کند. تقریب‌های اخیر، ممکن است از نظر محاسباتی ناپایدار باشند؛ به این معنی که در خلال محاسبه با هیدرولیکی در فواصل زمانی متوالی، مقدار خطای محاسبات مرتباً افزایش مییابد.
در حالت غیرماندگار خطاها به هر دلیل که وارد محاسبات شوند، در جریان‌های متوالی در خلال محاسبات مرتباً افزایش یافته و در نهایت بر روی جواب مسأله تاثیر میگذارند. برخلاف این روش‌ها، تفاضلهای رو به عقب همیشه پایداری عددی دارد و باعث می‌شود که خطای ایجاد شده در هر مرحله، در زمان بعدی از بین برود. بدین دلیل، این روش با اینکه ممکن است منجر به یک سیستم معادلات بزرگ شود که بایستی به طور همزمان حل شوند ترجیح داده می‌شود.
MODFLOW روش تکرار را برای حل ماتریس به دست آمده از دستگاه معادلات تفاضل محدود در هر بازه زمانی، به کار میبرد. در این روش با یک فرض اولیه محاسبه سطح ایستایی (هد) برای زمان پایان بازه زمانی شروع می‌شود. مقدار به دست آمده از این مرحله را جایگزین فرض اولیه میکنیم و این روش را تکرار میکنیم. در هر مرحله هد به دست آمده دستگاه معادلات را بهتر ارضا می کند، تکرار تا جایی ادامه مییابد که هد به دست آمده دستگاه معادلات را به صورت کامل ارضا کند.
یک روش تکرار، تنها یک تخمین برای جواب دستگاه معادلات تفاضل محدود برای هر بازه زمانی می‌باشد و صحت این تخمین به عوامل متعددی از جمله معیار همگرایی بستگی دارد. اگر چه ممکن است جواب‌های دقیقی برای دستگاه معادلات تفاضل محدود برای هر بازه زمانی به دست آید اما این تنها تخمینی از جواب معادله دیفرانسیل حاکم بر جریان، معادله ۲-۲۰، است. تفاوت بین بار هیدرولیکی حاصل شده از حل دستگاه معادلات تفاضلی برای مکان و زمان مورد نظر و h(x,y,z,t) که از حل عمومی معادله دیفرانسیلی برای همان نقطه به دست می‌آید نشان دهنده خطای برشی است. به طور معمول این خطا با افزایش فواصل شبکه‌ها و طول بازه زمانی افزایش مییابد (محمدی، ۱۳۸۶).
۲-۵- آلودگی آب‌های زیرزمینی
منابع آب زیرزمینی خصوصیات شیمیایی، فیزیکی و بیولوژیکی مخصوص به خود را دارند. آلودگی آب‌های زیرزمینی به معنی کاهش کیفیت آب یا تغییر در خصوصیات یاد شده به علت عوامل طبیعی و غیرطبیعی می‌باشد. عوامل متعددی آلودگی آب‌های زیرزمینی را باعث می‌شوند ولی مهمترین آن ها فاضلاب‌ها هستند. از آنجا که منابع آب زیرزمینی به آسانی قابل مشاهده نیستند تشخیص آلودگی و کنترل آن ها به مراتب سختتر از تشخیص آلودگی آب‌های سطحی است و نیازمند صرف توجه و هزینه و آگاهی بیشتری می‌باشد.
۲-۵-۱- منابع آلودگی آب‌های زیرزمینی
منابع متعددی در آلودگی این آب‌ها نقش دارند. این عوامل را می‌توان از چند جهت دسته بندی کرد مثل آلودگیهای نقطه‌ای و غیرنقطهای یا آلودگیهای طبیعی و غیرطبیعی. در اینجا منابع آلوده کننده آب زیرزمینی بر اساس نوع فعالیت که آلودگی را به وجود میآورد طبقه بندی می‌شوند. مطابق با این دسته بندی منابع آلودگی عبارتند از، آلودگیهای شهری، صنعتی، کشاورزی و موارد مشابه.
منابع و عوامل شهری شامل نشت از لولههای فاضلاب، معمولاً در اثر شکستگی لولههای فاضلاب و آب بندی نشدن مناسب آن ها اتفاق میافتد. چون ذرات در فاضلاب تمایل به گرفتن ترک در لولهها دارند، نشت از طریق سوراخها معمولاً ناچیز است.
فاضلاب‌ها منبع دیگری از عوامل آلودهکننده شهری میباشند. معمولاً بیشتر فاضلاب‌ها تا حدودی تصفیه شده و سپس به آب‌های سطحی تخلیه می‌شوند. تخلیه به آب‌های سطحی به نوبه خود باعث تغذیه آب‌های زیرزمینی در منطقه می‌شود. فاضلاب‌های شهری ممکن است باکتری، ویروس و مواد شیمیایی و غیر آلی را وارد آب‌های زیرزمینی کنند. کلر زدن به فاضلاب تصفیه شده خود ممکن است باعث ایجاد آلودگیهای اضافی گردد. در بسیاری از مناطق فاضلاب از طریق چاه‌های جذبی مستقیماً وارد سفره آب زیرزمینی می‌شود. در صورتی که این چاه‌ها نزدیک به چاه پمپاژ باشند و در مواردیکه آب از مواد ریز دانه عبور نکند مسأله بسیار بحرانی خواهد بود.
