در کشور ما،  در اکثر مدارس،  روش های سنّتی برای یاددهی و یادگیری ریاضی به کار می روند و برخی از این روش ها، از پایه، اشکالاتی دارند. به خصوص اگر از دوره ی ابتدایی مورد استفاده قرار گیرند که در این صورت می توانند در آینده مشکلات جبران ناپذیری برای دانش آموزان ایجاد نمایند، چون بخش عمده ای از وضعیت نامطلوب و مشکلات آموزش ریاضی، به دوره ی ابتدایی بر می گردد.  در این دوره از روش های مناسب و جدید آموزش مفاهیم ریاضیات استفاده نمی شود و دانش آموزان از همان ابتدا با روش‌های غلط آموزش می بینند که نتیجه ی آن درک نکردن درست مفاهیم ریاضی است. مشکلاتی که این روش ها ایجاد می کنند شمردنی نیستند. در زیر به برخی از مشکلاتی که  این روش‌ها ایجاد می کنند، اشاره می کنیم.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

ایده های جدید مثل عمل ضرب، به طریقی یاد گرفته می شوند که به سختی می توان آن ها را ریاضی گونه نامید. در واقع این روش ها دانش طوطی وار تولید می کنند که تقریباً هرگز نقشی در تشکیل یک شبکه ی مفید از ایده ها ندارند. به عنوان مثال، دانش آموزان حاصل ضرب  ۵۶ =  ۸  × ۷ را به صورت  «هَفَلَشتا ، پَلَنگ و شیش تا» یاد می گیرند که اصلاً مرتبط با ریاضیات نیست.
در روش های سنتی، اصلاً  به ویژگی‌های رشد ذهنی دانش آموزان توجهی نمی شود در صورتی که اگر غیر از این بود، یادگیری بسیار آسان تر می شد. در واقع در این روش‌ها ، یک دانش آموز ابتدایی به صورت اشتباه آموزش می بیند و به یادگیری با  این روش ها عادت می کند. به طوری که  در سال های بعد ترک  این روش ها آنقدر مشکل می شود که  دانش آموزان ترجیح می دهند در یادگیری خود ا ز روش های دیگر استفاده نکنند.
بیشتر روش های سنتی آموزش ریاضی، معلم محور هستند. یعنی در هنگام تدریس معلم، دانش آموزان نقش فعالی در یادگیری ندارند و فقط معلم فعالیت می کند. در این صورت اصلاً یادگیری عمیقی اتفاق نمی افتد. بدین ترتیب دانش آموزان حتی قدرت نطقشان نیز تقویت نمی شود و از اعتماد به نفس قابل توجهی برخوردار نخواهند بود. ممکن است در بین دانش آموزان، یکی، دو نفر با دیگران متمایز بوده و بهتر عمل کنند ولی اکثر بچه ها از مشکلات بسیاری در کلاس رنج می برند.
در روش های قدیمی، بیشتر به نکته های امتحانی توجه می شود که در این صورت، دانش آموزان ریاضیات را سطحی یاد می گیرند و چیزی از اندیشه ی ریاضی باقی نمی ماند. در حال و هوای آماده شدن برای امتحان، مفاهیم و مطالب اصلی و بنیانی ریاضیات کنار می روند. معلم در این روش ها، اساسی ترین موضوع ها را، به درد نخور، می داند و سریع، خود را به یاد دادن روش های حل مسائل امتحانی می رساند. ظاهراً همه چیز درست است ولی در واقع چنین نیست و در حافظه و ذهن دانش آموزان چیزی به نام ریاضیات وجود ندارد.
به نظر می رسد که برخی از روش های مورد استفاده در مدارس ما، طوری هستند که گویی ذهن دانش آموزان را لوح سفید می پندارند در حالی که آن ها هرگز ایده ها را زمانی که معلم ها آن ها را نمایش می دهند، جذب نمی کنند. در عوض، دانش آموزان، آفرینندگان دانش خویش هستند. باید دانش آموزان را به مواجه شدن با ایده های جدید، تلاش برای جفت و جور کردن آن ها با شبکه های موجود ذهنی خود و چالش با ایده های خود و دیگران تشویق کرد که در روش های قدیمی میسر نمی شود (صحرایی، ۱۳۸۶، ص ۲).
رفتار ریاضی چیست؟
رفتار ریاضی اعمالی است که دانش آموز بعد از تعلیم ریاضی، به دستور معلم از خود نشان می دهد، این رفتار به گونه های مختلف و بسیار زیاد و در سطوح متفاوت است و گاهی قابل مقایسه با یکدیگر یا با سایر رفتارهای انسانی نیست. شمرده اعضاء یک مجموعه محدود و شمارش پذیر، اندازه گیری طول یک اتاق، تعیین حجم یک کانتی نر، انجام یک عمل تفریق دشوار، حل یک معادله جبری یا یک دستگاه معادلات خطی، تحلیل رفتار یک تابع و نشان دان تساوی دو زاویه در یک شکل پیچیده هندسی و از این قبیل اعمال هر کدام مثالی از یک رفتار ریاضی است. هر یک از این رفتارها به گونه ای خاص به یک یا چند مفهوم ریاضی ارتباط دارد و دانش آموزش که آن مفاهیم را نیافته باشد قادر به نشان دادن چنین رفتارهایی از خود نیست. مفاهیم زیر سبب بروز این رفتارها است، تطابق یک به یک، کاردینال، پیوستگی نقاط، جمع پذیری اندازه ها، عمل دوتایی، جایگاه و مرتبه اعدا، مکان و موقعیت متغیر، ایزوموفیسم اندازه ها، خط و رابطه خطی، تابع و متغیر (نائینی، ۱۳۶۹، ص ۸۸).
تأثیر ریاضیات در زندگی:
پرسشی که کراراً تکرار می شود، این است که چرا در دوران ابتدایی به دانش آموزان ریاضی یاد می دهیم، چرا که آن‌ ها با افزایش سنشان، جمع و تفریق و … را یاد می گیرند ولی از این نکته ی بسیار مهم غافلند که ریاضیات تنها در جمع و تفریق خلاصه نمی شود. کافی است به ماشین ها، قطارها، هواپیماها، موشک ها، سینماها، رادیو و تلویزیون ها و… نگاه کنیم تا بدانیم ریاضیات چه نقش اساسی در زندگی ما انسان ها ایفا کرده است. ریاضیات نقش اساسی در تشخیص امراض، مسائل دارویی و پزشکی بازی می کند زیرا پیشرفت بسیاری از امراض مسری و مزمن مانند سرطان، اختلالات مغزی و امراض قلبی از یک محله به محله ی دیگر طوری است که می توان آن را به صورت عددی بیان کرد و از طریق ریاضی مورد مطالعه قرار داد. ریاضیات پیش آهنگ دانش هاست و هر کس بخواهد درست بیندیشد و بهتر فکر کند، ناگزیر است که با ریاضیات آشنا باشد. در واقع، آموزش ریاضیات نه تنها یک علم، بلکه الگویی است برای آموزش صحیح سایر علوم. ذهن های خلاق و مبتکر، خود بی شک منتج از یک نظام یافتگی است که ماهواً دانش ریاضی این توانایی را خواهد داشت تا آن را احیا کند. از این رو می توان گفت که آموزش صحیح ریاضی، یعنی آموزش صحیح همه ی علوم؛ بنابراین آموزش ریاضی از اهمیت زیادی برخوردار است و در یک کلام می توان گفت که آموزش ریاضی، آموزش زندگی است (آرام، ۱۳۸۸، ص ۲).
اهمیت تدریس هندسه:
هندسه مطالعه انواع مختلف اشکال و خصوصیات آن ها است. هم چنین مطالعه ی ارتباط بین اشکال، زوایا و فواصل است. واژه ی انگلیسی (جئومتری^[۳۲]) به معنای هندسه، از زبان یونانی ریشه گرفته است. این کلمه از دو کلمه «جئو» به معنای زمین و «متری» به معنای اندازه گیری تشکیل شده است؛ بنابراین هندسه اندازه گیری زمین است. مطالعه ی هندسه به دانش آموزان در توسعه مهارت تصور کردن، تفکر انتقادی، شهود، حل مسأله، تخمین زدن، اثبات قیاسی، بحث منطقی و تعقل فضایی کمک می کند و هم چنین فهم خیلی از اصول علمی نیاز به آگاهی هندسی دارد. اهمیت آموزش هندسه اقلیدسی یکی کاربردی بودن آن و دیگری تاریخی بودن آن است و یکی از شاخه های ریاضی است که پایه ای برای ریاضیات جدید و مدل سازی در سایر علوم است. همچنین لزوم آموزش هندسه برای این است که هندسه به عنوان یک علم جدا نیست و داشتن آگاهی هندسی به درک شاخه های دیگر ریاضی نظیر (نمودار ون، نظریه گراف، مطالعه توابع، نمایش کسر، نمایش آماری و …) مدل سازی در سایر علوم مهندسی، شیمی، زیست شناسی، فیزیک، نجوم، هنر، تکنولوژی ساخت، طراحی مهندسی و موقعیت یابی در جغرافی و … کمک می کند و همچنین بخشی از ریاضیات مدرسه ای است که هدفش توسعه مهارت ها حل مسأله، استدلال و ارتباطات است (حبیبی، ۱۳۹۲، ص ۸۵).
از روزگاران قدیم هندسه نقش پررنگی در ریاضیات داشته است. هندسه مطالعه ی فضا و اشکال است و آن تمام پدیده های طبیعی در فضا رخ می دهند؛ بنابراین هندسه در واقع زمینه ی همه ی علوم طبیعی و به نوعی زبان همه علوم است. ریاضی و به خصوص هندسه به عنوان یک ابزار هوش و هوشمندی در اختیار انسان قرار داشته و پیوسته خواهد داشت (رستگارپور و یداللهی، ۱۳۸۹، ص ۶۵). امروزه تدریس هندسه از اهمیت زیادی برخوردار است، زیرا به عنوان ابزاری برای درک، توصیف و تعامل با فضایی که در آن زندگی می کنیم مورد توجه قرار می گیرد و از شهودی ترین و ملموس ترین بخش های ریاضیات به شمار می رود. بوسسکین در اهمیت تدریس هندسه دو دلیل بیان می کند:
هندسه به صورت منحصر به فردی ارتباط ریاضی را با دنیای واقعی برقرار می سازد.
هندسه به صورت منحصر به فردی در روشن ساختن ایده ها در دیگر عرصه های ریاضی تواناست (ریحانی و همکاران، ۱۳۸۹، ص ۱۵۳).
کاربرد هندسه در زندگی:
با مطالعه ی تاریخ هندسه می توان دید که هندسه با توجه به نیاز بشر و کاربرد آن به وجود آمد و بعد توسط یونانیان به صورت علمی و اصل موضوعی تدوین شد، بنابراین آموزش آن بر اساس کاربردها می تواند برای دانش آموزان لذت بخش بوده و ضمن افزایش انگیزه آنان برای یادگیری، توانایی آنان را در کاربرد هندسه نیز افزایش داده و هندسه فقط از چند فرمول حفظی که در ذهن دانش آموز است به کاربرد فرمول ها در زندگی وی تبدیل شود. اولین تجربیات هندسی بچه ها از زندگی واقعی آن‌ ها و غیر عمدی و خود به خود کسب می شود و لذا یادگیری بچه ها قبل از مدرسه از نوع غیر عمدی است. وقتی از یک مکان به مکان دیگر حرکت می کند، پیش مفهومی از اندازه گیری را تجربه می کند، یکسانی و متشابه بودن را با سرامیک ها کف آپارتمان، تصاویر روی اسکناس و … در محیط می بیند. تقارن را در نقاشی ها، فرش، برگ درختان، کندوی زنبور عسل و … ملاحظه می کند، اشکال هندسی دو بعدی و سه بعدی مانند شکل سرامیک، کایت، آجر، جعبه دستمال کاغذی، کلاه تولد، توپ، لیوان، بشقاب و … را بدون دانستن نام آن‌ ها مداوم در دست گرفته و یا می بیند (حبیبی، ۱۳۹۲، ص ۹۲).
سطوح یادگیری مفاهیم هندسی:
کلمنتس و باتیستا (۱۹۹۲) ۵ سطح برای یادگیری مهارت های مرتبط با قضایای هندسی بر شمرده اند این سطوح به شرح زیر است:
سطح ۱: تشخیص / دیداری
دانش آموزان تنها اشکال را توسط ظاهر تشخیص داده و اغلب آن ها را با یک نمونه شناخته شده مقایسه می کنند و خواص شکل برای آن‌ ها تصور پذیر نیست. در این سطح، تصمیم گیری دانش آموزان بر اساس ادراک و استدلال نیست. به عنوان مثال مستطیل را به دلیل شباهت آن با در اتاق یا خانه تشخیص می دهند.
سطح ۲: تجزیه و تحلیل / تشریحی
در این سطح دانش آموزان شکل ها را بر حسب مؤلفه ها و رابطه های بین این مؤلفه ها تجزیه و تحلیل می کنند، دانش آموزان اشکال هندسی را بیشتر بر اساس خصوصیات آن ها توصیف می کنند تا بر طبق ظاهر آن ها. وقتی که دانش آموزی در این سطح است امکان دارد لیست تمام خواص یک شیء را به عنوان یک عامل توصیف کنند، اما تشخیص نمی دهد که آیا این خصوصیات برای توصیف شیء لازم و کافی هستند یا نه. مثلاً شخص در این سطح ممکن است بگوید، «در یک مربع ۴ ضلع برابر و ۴ زاویه برابر است»؛ اما ممکن است هنوز روی اینکه «یک مربع، مستطیل نیست» اصرار داشته باشد.
سطح ۳: رابطه ای / انتزاعی
در این سطح دانش آموزان قادر هستند خواص مفاهیم، شکل ها و انواع تعریف های مجرد را به صورت منطقی مرتب کنند. در این مرحله دانش آموزان با بهره گرفتن از خصوصیات هندسی اشکال را دسته بندی و طبقه بندی می کنند به عنوان نمونه یک مربع نمونه ای خاص از یک مستطیل است.
سطح ۴: استنتاج رسمی
یادگیرنده در این سطح به جای حفظ کردن اثبات ها قادر به ساختن آن هاست. در این مرحله دانش آموزان در سیستمی متعارف برهان هایی را ارائه می دهند.
سطح ۵: دقت / ریاضیاتی
در این سطح فراگیران در گستره ای از سیستم های موضوعی مختلف می توانند کار کنند دانش آموزان با بهره گرفتن از استدلال های تفصیلی، دو سیستم متعارف و متفاوت را مقایسه می کنند (لیاقتدار و همکاران، ۱۳۹۱، ص ۱۱۰).
مفاهیم توپولوژیک هندسی در دوره ابتدایی:
عبور کودکان از مرحله ی پیش عملیاتی و حرکت آن‌ ها به سمت مرحله ی عملیاتی در تئوری رشد شناختی پیاژه، سبب می شود تا آموزش مفاهیم هندسی نیز از توپولوژیک به سمت هندسه ی اقلیدسی گسترش یابد. در این زمینه چهار مرحله ی توپولوژیک که به کودکان کودکستانی و ابتدایی اختصاص دارد، عبارت اند از: مجاورت، تفکیک، ترتیب و بسته بودن. این چهار مرحله به فعالیت های هندسی و شناخت اعداد و شمارش آن‌ ها اختصاص دارد.
مجاورت: مجاورت به نزدیکی یک شیء به شیء دیگر اشاره دارد. کودکان به طور طبیعی به اشیای نزدیک خود علاقه مند هستند؛ زیرا می توانند آن‌ ها را لمس و دستکاری کنند. در مرحله ی حسی حرکتی، کودک به اشیایی که دور از دسترس او قرار دارد، علاقه ی کمتری نشان می دهد، مگر اینکه جسم دور از دسترس، متحرک، درخشنده و چشمگیر باشد. اشیایی که دور از دید کودک قرار دارد، در ذهن کودک هستی پیدا نمی کند. توجه کودک به تدریج به فعالیت هایی که برای تشخیص اشیای خارج از میدان دید به آن‌ ها کمک می کند، جلب می شود و بین دوری و نزدیک تفاوت می گذارند و رابطه آن‌ ها را بر حسب نزدیکی به هم در ذهن خود بارور می کنند. هر گاه کودک مجموعه ای از اطلاعات را طبقه بندی کند یا مجموعه ای از مهره ها را مانند الگوی داده شده در یک رشته نخ مرتب کند، می توانید چنین سؤالاتی از او بپرسید: «کدام مهره ی مشکی از مهره ی آبی دورتر است؟»، «کدام اتومبیل قرمز به اتومبیل سبز نزدیک تر است؟»
تفکیک: تا کودکان به مرحله تفکیک نرسند، نمی توانند بین اجزای اشیاء تفاوت بگذارند. در این مرحله، تمام قسمت های یک شیء در ذهن کودک نقش می بندد. طرح ها و نقاشی های کودک و رشد کودک در تفکیک اجزا را نشان می دهد. کودک در حین نقاشی صورت انسان، اجزای صورت را در مکان اصلی قرار می دهد.
ترتیب: فعالیت های مستمر و متوالی،که موضوع هایی مجزا و طبقه بندی شده دارند، به کودکان در درک ترتیب کمک می کنند. در طول این دوره از فعالیت ها، کودکانی که در آغاز توانایی الگوبرداری از روی یک مدل را داشتند، ممکن است موفق به ترتیب عکس الگو نشوند. کودکان در صورتی قادر به انجام دادن این کار خواهند شد که معلم راهنمایی لازم را ارائه داده باشد.
بسته بودن: بسته بودن، موقعیت یک نقطه بین دو نقطه روی خط، یک نقطه بین منحنی بسته روی صفحه و نقطه ای بین فضایی بسته را شامل می شود. بسته بودن روی خط بیشتر مورد توجه کودکان قرار می گیرد، چون بیشتر با آن برخورد می کنند. برای مثال، کودکان در شمارش اعداد، در مورد یک عدد که بین دو عدد قرار دارد، می توانند بگویند که آن عدد بین دو عدد دیگر محصور شده است (اسیتوتیپس^[۳۳]، ۱۳۷۵، ص ۵۳ و ۵۴).
اوریگامی^[۳۴]:
اوریگامی یا کاغذ تا شده یا بنا به قول مردم ایران کاغذ و تا، هنر تا کردن کاغذ برای به وجود آوردن اشکال و اشیای تزیینی و حتی وسایل مصرفی و سرگرمی های کودکانه است. سابقه ی این هنر سنتی از بازی های ساده کودکانه آغاز می شود و به هنری پیچیده می رسد. هنر اوریگامی در آیین ها و رسوم خاص ژاپنی و همچنین برای مصارف آموزشی، تفریحی و علمی کاربرد دارد. امروزه در بسیاری از سازه های فضایی، در صفحات خورشیدی ماهواره ها و سقف های تا شونده، از این علم استفاده می کنند (علاء الدینی، ۱۳۸۳، ص ۹۱).
اوریگامی چیزی بیش از تا کردن کاغذ است، ابزاری برای تدریس دانش‌آموزان در مورد هندسه است. دانش‌آموزان هنگام کار با کاغذ با مفاهیم ریاضیاتی همانند خطوط هندسه، تجانس و ویژگی‌های شکل مواجه می‌شوند. خطوط هندسه در اوریگامی در زمانی که دانش‌آموزان کاغذ مربع را دقیقاً به نیم تا می‌کنند کاوش می‌شوند زیرا که هر دو سمت دقیقاً یکسان می‌باشند. اولیه مرحله برای ایجاد اریگامی ایجاد اریگامی قورباغه است که استفاده از تقارن را نشان می‌دهد. کاغذ دقیقاً به صورت عمودی به نیم تا می‌شود. اریگامی ویژگی‌های مختلفی از اشکال به دانش‌آموزان نشان می‌دهد مثلاً زمانی که مربع به نیم تا می‌شود تا دو مستطیل را تشکیل دهد. یک‌بار دیگر مرحله اول برای ساخت قورباغه استفاده از ویژگی‌های اشکال برای تا کردن کاغذ است. کار با اریگامی همچنین به دانش‌آموزان برای کشف شکل‌ها و زاویه‌های متجانس کمک می‌کند. هنگامی که فرد کاغذ را بر یک سمت تا می‌کند همین فرایند برای سمت دیگر تکرار می‌شود بدین صورت که اضلاع متجانس می‌باشند. مرحله ۵ تا ۹ نشان می‌دهد که هر مرحله تاسازی بر روی یک سمت کاغذ صورت می‌گیرد. دانش‌آموزان به جای حفظ تعاریف می‌توانند تعاریف خاص خود را برای تقارن، مستطیل و مثلث قائم خلق کنند. قورباغه‌های اوریگامی برای شروع کار ریاضی دانش‌آموزان در کلاس سوم عالی می‌باشند. برای دانش‌آموزان پایه بالاتر، شکل‌های دشوارتر همانند مکعب‌ها را می‌توان ایجاد کرد. دانش‌آموزان می‌توانند دیگر جامدات هندسی را نیز کاوش کنند. هنگامی که دانش‌آموزان این جامدات هندسی را خلق می‌کنند، می‌توانند ویژگی‌های مختلف اشکال را بررسی کنند و درک صحیحی از مشخصاتی همانند زاویه و تعداد اضلاع به دست آورند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۴).
اوریگامی برای آموزش و هنر:
در اواخر دوره می جی و دوره تائیشو از اوریگامی به عنوان وسیله کمک آموزشی در کودکستان ها و مدارس ابتدایی استفاده می شد؛ به ویژه از زمانی که کاغذ چهارگوش رنگی به صورت گسترده تولید شد. در آغاز دوره شووا خلاقیت در آموزش و پرورش ژاپن مورد تأکید قرار گرفت و از اوریگامی انتقاد شد، چون کودکان می بایستی با کاغذ کارهای استاندارد انجام می دادند. اخیراً مجدداً اوریگامی به عنوان یک تکنیک آموزشی مورد استقبال قرار گرفته است؛ به ویژه برای تدریس مفاهیم ارتباط بین سطح و حجم. هنر جدید اوریگامی به طور کلی تکنیک های رنگ آمیزی و برش را به کار نمی برد بلکه الگوی اصلی نشان دادن احجام است (علاء الدینی، ۱۳۸۳، ص ۹۷).
تاریخچه فراکتال:
تاریخ نگاران، سالروز تولد بحث فراکتالیسم را حدود سال ۱۹۶۰ میلادی ارزیابی می کنند. آن‌ ها معتقدند که هندسه فراکتال در نتیجه بررسی های آقای مندلبروت در دهه های ۱۹۶۰ تا ۱۹۷۰ ایجاد شد، ولی به نظر می رشد جای پای فراکتال را می توان در نقاشی های جکسون پولاک که سال‌ها قبل از مندلبروت می زیست، مشاهده کرد. پولاک در یک شب طولانی ماه مارس، مستانه و در آستانه خودکشی، شالوده یکی از شاهکارهای خویش (قطب های آبی: شماره ۱۱، سال ۱۹۵۲) را بنیان گذاشت. او بوم بزرگی را کف انبارش فرش کرد و با یک تکه چوب، رنگی معمولی از یک قوطی کهنه روی بوم چکاند. این نخستین باری نبود که هنرمند یک نقاشی را قطره قطره روی بوم می ریخت. پولاک، بر خلاف خطوط شکسته ای که تماس متعارف قلم مو با بوم ایجاد می کند، تکنیکی ابداع کرد که در آن جریان ثابتی از رنگ روی بوم های افقی ریخته می شود تا خطوط پیوسته منحصر به فردی پدید آورد. در دوره پولاک، چنین پنداشته می شد که طبیعت بی نظم است و اساساً تصادفی عمل می کند (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۶).
فراکتال چیست؟
فراکتال یک شکل پیچیده هندسی است که از بی نهایت قطعه کوچک تر و مشابه شکل اصلی تشکیل شده باشد. ذکر یک مثال می تواند ایده و فلسفه ی اصلی فراکتال ها را بیشتر روشن سازد. فرض کنید که یک مثلث متساوی الاضلاع را پیش روی خود دارید. اگر توسط سه خط نقاط میانی سه ضلع مثلث را به هم متصل کنید حاصل یک مثلث دیگر خواهد بود که در قلب مثلث اصلی جا دارد. در این حال دقت کنید که مثلث اصلی خود به چهار شکل کوچک تر تقسیم شده است. این عمل را می توان روی هر یک از چهار مثلث فرعی تا بی نهایت تکرار کرد (میریان، ۱۳۹۰، ص ۸۸).
فراکتال‌ها طرح‌های جالب توجهی هستند که می‌توانند هندسه را برای دانش‌آموزان احیاء کنند. فراکتال‌ها اشیائی هستند که به نظر می‌رسد که به تکه‌های بسیاری خرد شده‌اند و هر تکه کپی از کل شکل می‌باشد. آن‌ ها ذاتاً طرح‌های پیچیده ولی ساده ای هستند. فراکتال‌های معروف بسیاری وجود دارد که دانش‌آموزان می‌توانند ایجاد و کاوش کنند. آن‌ ها شامل کلاه سیرپینسکی، فرش سیرپینسکی و برف‌دانه کاچ می‌باشند. این فراکتال زمانی که ساخته می‌شوند ممکن است برای کاوش محیط و مساحت بکار روند. مباحث محیط و مساحت با بهره گرفتن از فراکتال‌ها احیا می‌شوند. دانش‌آموزان به جای یافت محیط و مساحت شکل‌های مختلف می‌توانند از شی‌ای که ایجاد کرده‌اند برای کاوش این مفاهیم استفاده کنند (هسکت، ۲۰۰۷، ص ۱۰).
چگونگی ساخت انواع فراکتال:
نخست دانش‌آموزان می‌توانند فراکتال‌ها ریاضی‌دان لهستانی وارکلاو سیرپنسکی را بررسی کنند که به خاطر کار خود با فراکتال و منحنی‌های پرکننده فضا معروف است. دانش‌آموزان از مراحل زیر برای ساخت کلاه سیررپنسکی استفاده می‌کنند که مثلث سیرپنسکی نیز نامیده می‌شود.
با مثلث متساوی‌الاضلاع S(0) شروع بکار کنید.
نقاط میانی هر ضلع را به هم وصل کنید
مثلث مرکزی S(1) را حذف کنید.
نقاط میانی سه مثلث باقیمانده را به هم متصل کنید.