,
,
بدلیل ایزوپارامتریک بودن المان، توابع شکل یکسانی جهت درون­یابی جابجایی­ها و مختصات گره­های المان­ها بکار می­رود. رابطه زیر نشان دهنده این مطلب است.
(۳-۲۳) ,
که اندیس ، در عبارت، دهنده تعداد گره­های المان است که در اینجا تعداد گره­ها هشت است.
بردارهای ، به ترتیب، بردار مختصات و جابجایی گره­ها است. ماتریس ، ماتریس توابع شکل نامیده می­ شود.
(۳-۲۴)
برای نگاشت المان احتیاج به یک تبدیل یک به یک است. برای چنین تبدیل­هایی در ریاضیات از تعریف ماتریس ژاکوبین استفاده می­ شود.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

در فرمولاسیون روش المان محدود احتیاج به ماتریس کرنش-جابجایی داریم، که آن را ماتریس می­نامیم. در این ماتریس چون با اپراتور گرادیان سر و کار داریم، دستیابی به آن آسان نیست. به این منظور تابع راتعریف کرده و مشتقات آن را نسبت به و محاسبه می­کنیم. در واقع در اینجا میتواند یا ، یعنی جابجایی­ها در جهت و باشد. مشتقات نسبت به و به صورت مستقیم قابل دستیابی نیستند به این منظور از قاعده مشتق زنجیره­ای استفاده کرده و مشتقات نسبت به و را حساب می­کنیم.
(۳-۲۵)
روابط بالا را در حالت فشرده به صورت زیر می­توان نوشت.
(۳-۲۶)
که ، ماتریس ژاکوبین نامیده می­ شود.
(۳-۲۷)
ترم­های را بصورت زیر بیان می­ شود.
(۳-۲۸)
که ، معکوس ماتریس ژاکوبین است.
(۳-۲۹)
که ، دترمینان ماتریس ژاکوبین است.
(۳-۳۰)
در مراجع اکثراً را به عنوان ژاکوبین می­شناسند. ژاکوبین در واقع همان ضریب مقیاس است که در ضرب شده و سطح ساخته شده توسط در دستگاه اولیه را، در دستگاه جدید مقیاس می­ کند. به عنوان یک مثال ساده در تبدیل مختصات کارتزین به مختصات قطبی، ، ضریب همان ژاکوبین است . در کل ژاکوبین تابعی از مولفه­های مختصات جدید است.
هدف بدست آوردن جابجایی­ها نسبت به مولفه­های مختصات اصلی، یعنی و است. با توضیحاتی که تا اینجا داده شد، توانستیم مشتقات تابع دلخواهی مثل را نسبت به و بدست آوریم. اکنون می­توانیم ماتریس­ کرنش-جابجایی و ماتریس سختی را بدست بیاوریم. قبل از بدست آوردن ماتریس­های ذکر شده، یک سری تعاریف اولیه راجع به کرنش­ها و جابجایی­ها در فضای دو بعدی ارائه می­ شود.
در این مطالعه رفتار خاک را در حالت دو بعدی کرنش صفحه­ای بررسی کرده­ایم. اکثر مسائل ژئوتکنیکی در حالت کرنش صفحه­ای تعریف می­شوند. در حالت کرنش صفحه­ای ، مولفه کرنش عمود بر صفحه آنالیز صفر است، در این حالت ماتریس الاستیسیته ، به صورت زیر تعریف می­ شود.
(۳-۳۱)
که ، مدول الاستیسیته و ، ضریب پوآسون است. البته در ادامه راجع به مدول رفتاری انتخاب شده در این مطالعه توضیح می­دهیم.
رابطه کرنش-جابجایی در رابطه زیر آورده شده است.
(۳-۳۲)
که ماتریس ، حاصل ضرب سه ماتریس مستطیلی است. کرنش­های تعریف شده در حالت کرنش صفحه­ای به شرح زیر هستند.
(۳-۳۳)
ماتریس کرنش به فرم زیر نیز قابل بیان است.
(۳-۳۴)
رابطه زیر از گسترش رابطه ۳-۲۸ برای جابجایی­های مختلف حاصل می­ شود.
(۳-۳۵)
رابطه فوق نشان دهنده رابطه بین مشتق جابجایی­ها نسبت به مولفه­های دستگاه مختصات و دستگاه مختصات است.
رابطه ۳-۳۶ از مشتق گیری رابطه سوم روابط ۳-۲۳ و با در نظر گرفتن رابطه ۳-۲۴ حاصل می­ شود.
(۳-۳۶)
با جاگذاری دو رابطه اخیر در رابطه ۳-۳۴ ماتریس ساخته می­ شود.
(۳-۳۷)
حال با داشتن ماتریس ماتریس سختی در قالب معادله ۳-۳۸ قابل بیان است.
(۳-۳۸)
در رابطه بالا ، ضخامت المان است.
بعد از تعریف ماتریس سختی، ماتریس جرم را تعریف می­کنیم. ماتریس جرم در قالب رابطه زیر تعریف می­ شود.
(۳-۳۹)
در رابطه بالا ، ماتریس توابع شکل و ، چگالی یا جرم واحد حجم مصالح است.
تا اینجا ماتریس­های سختی و جرم تعریف شدند. انتگرال­های موجود در روابط بالا را نمی­توانیم به صورت مستقیم حل کنیم. برای حل آنها باید از تکنیک انتگرال عددی استفاده کنیم. روشی که معمولاً در روش المان محدود برای انتگرال گیری المان­های صفحه­ای ایزوپارامتریک در نظر گرفته می­ شود روش کوآدرچر است.