گاهی ممکن است که اهمیت یک آرمان نسبت به آرمان دیگر آنقدر زیاد باشد که آرمان دوم تنها در صورتی بررسی شود که چند جواب به طور یکسان، انحراف از آرمان اول را کمینه‌ کرده ‌باشند، در این صورت، آرمان دوم انتخاب می‌شود. این کار با تغییر ساده‌ای که در روش سیمپلکس داده می‌شود عملی است.
راه دیگر انجام چنین کاری، تعیین ضرایب وزنی با کمیت‌های فوق العاده متفاوت برای دو آرمان است. همین رویکرد را می‌توان در مورد مسایلی با بیش از دو آرمان و با اهمیت‌های متفاوت نیز اعمال کرد. اکنون، آرمان‌های یک‌جانبه را درنظر می‌گیریم. در چنین موردی، g_k مقدار مشخصی نیست که حتی المقدور باید حاصل شود، بلکه تنها معرف حد مطلوب مربوط به آن هدف است. اگر g_k کران پایینی یک آرمان باشد، یعنی،

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(K آرمان )
آن‌گاه هر مقدار بیشتری از آن مطلوب است )با بی‌تفاوتی نسبی درمورد مقدار اضافی(، اما حتی‌الامکان باید از هر مقدار کمتر ازg_k جلوگیری شود.
الگوریتم‌های موجود برای حل یکGP
این‌جا به‌ترتیب روش‌های هندسی، لکسیکوگرافی، انتقال متوالی و روش سیمپلکس را بحث می‌کنیم.
روش هندسی
مثال زیر را با اولین تابع هدف آن در نظربگیرید به طوری که مساله را به صورت یک LGP بررسی‌می‌کنیم. ارجحیت‌های رتبه ای(  ) به گونه زیر تعریف شده‌اند:
: تأمین محدودیت‌های اصلی مسأله.
: تأمین کمترین بهره‌وری در صورت امکان به مقدار ۲۴۰ واحد پولی.
از این رو، LGP به قرار زیر است:

شکل هندسی این مساله به صورت شکل ۳-۲ است:
شکل۳-۲- فضای جواب و انحراف از آرمان‌ها.
ناحیه شدنی به صورت فضای هاشورخورده در شکل بالا دیده‌می‌شود، به‌طوری که برای این ناحیه d’₁=d’₂=0 . به این دلیل، هدف ارجحیت یکم (  ) تأمین‌شده‌است. اما تابع هدف مساله (با ارجحیت  ) با فضای عملی در تعارض است و  . برطرف کردن تعارض به‌علت وجود برنامه‌ریزی آرمانی و رتبه موجود ارجحیت امکان پذیر است، بدین صورت که سعی می‌شود هدف موجود در اولویت دوم (  )، بدون لطمه‌زدن به اهداف موجود در سطح یکم ارجحیت (  )، تا حدممکن تأمین‌شود، یعنی تا دست‌کم d₃=110 (محل تماس تابع هدف یکم با فضای شدنی- نقطه A).چنانچه d₃ بخواهد از ۱۱۰ کمتر شود، باید هدف در ارجحیت یکم را قربانی کرد که مجاز نیست. از این رو جواب بهینه عبارت است از

اگر تابع هدف دوم از مثال موجود را با محدودیت حداقل تولیدی برابر با  به مساله بیفراییم و رتبه بهینه سازی آن را (  ) فرض کنیم، آن‌گاهLPG جدید بدین قرار است:

شکل هندسی این مساله به صورت زیر است:
شکل۳-۳- فضای جواب با توجه به اضافه شدن محدودیت جدید.
ملاحظه می‌شود که فضای شدنی به‌ازای یک مساله LP وجود ندارد، زیرا محدودیت  در تعارض با محدودیت‌های اصلی مساله (g₁,g₂) است، لیکن وجود مساله به صورت آرمانی ایجاب می‌کند که ابتدا اهداف در رتبه یکم اهمیت (  ) باید تامین‌شوند، یعنی.d‘₁+d‘₂=0 بدان مفهوم که ناحیه OABD نمایان‌گر ناحیه جواب مساله است. تولید دست کم ۳۰۰ واحد ازx₁ در ارجحیت دوم است (  ) که نزدیک‌ترین نقطه شدنی به آن نقطه است به‌گونه‌ای که موجب هیچ لطمه‌ای به اهداف در رتبه یکم اهمیت (  ) نشود.
سرانجام، برای بهینه‌سازی f₁ که در ارجحیت سوم (  )قرار گرفته است، باید d₄ را به کم‌ترین مقدار رسانید که مناسب‌ترین وضعیت برای آن در نقطه A با d₄=140 است، زیرا مثلاً حرکت از نقطه A به B موجب بهبود در f₁ می‌شود، اما با وارد کردن لطمه به هدف موجود در رتبه دوم اهمیت (  )، که این امر مجاز نیست. از این رو، نقطه Aمشخص‌کننده راه حل نهایی برای مساله به شرح زیر است:
روش لکسیکوگرافی
در مواردی که w_j برای یک GP به‌صورت رتبه‌ای باشد می‌توان از روش لکسیگوگرافی برای حل مساله استفاده کرد. یعنیGP دارای شرایط حل مساله با روش لکسیکوگرافی است، با این تفاوت که تعیین مقاصد(b_j) برای مدل GP توسط تصمیم‌گیرنده ضروری است.
محدودیت استفاده از این روش این است که در صورت وجود جواب‌های معادل در سطوح بالا از اولویت‌ها، الگوریتم منجر به ختم‌شدن در سطوح پایین‌تر از اولویت‌های موجود می‌شود. مشکل دیگر این است که در این روش تعدیل بین سطوح اولویت‌ها رخ نمی‌دهد، مثلا بهبود زیاد در یک هدف از سطح اولویت پایین که می‌تواند در اثر کاهش ناچیزی در یک هدف از اولولیت بالاتر به وقوع پیوندد، مجاز نیست.
انتقالات متوالی
همان‌طور که می‌دانیم یک مدل MODL به قرار زیر است :

الگوریتم انتقالات متوالی
قدم ۱: مساله را به یک مساله تک‌هدفی به ترتیب رتبه های w_j تبدیل‌کنید به طوری که اولین مساله شامل هدف در رتبه یکم اهمیت (  ) باشد و آخرین مساله هدف در آخرین رتبه اهمیت باشد:
مساله یکم

ارجحیت یکم همیشه به تأمین محدودیت‌های اصلی مساله داده می‌شود که فضای شدنی آن تهی نباشد. اگر ،آن‌گاه مساله جواب دارد. چنان‌چه به مساله دوم برو.
مساله دوم

ملاحظه می‌شود که کمینه‌سازی انحراف از مقصد موجود برای مهم‌ترین هدف از اهداف مساله همواره در رتبه دوم اهمیت نسبت به محدودیت‌های اصلی مساله واقع می‌شود و دومین مساله را به‌وجود‌می‌آورد. مساله jام به‌صورت زیر خواهد بود:
مساله jام:

قدم ۲ : حل هر مساله از یک مساله اصلی به‌گونه‌ای انجام می‌شود که توابع هدف مسایل حل شده پیش از آن هرگز از بهینه بدست‌آمده برای آن‌ ها تجاوز نکند، یعنی بهینه سازی یک هدف از رتبه پایین‌تر نمی‌تواند به ضرر یک هدف از رتبه بالاتر شود. این فرایند ادامه می‌یابد تا آن‌جاکه حل مساله یکم به پایان رسد.
مثال:
مساله خطی پیش را در نظر می‌گیریم:

مساله یک از سه:

مساله بهینه به‌ازای d‘₁=d‘₂=0 رخ‌می‌دهد، یعنی h₁^*=0و محدودیت‌های موجود تشکیل یک فضای شدنی ناتهی را می‌دهد و از این‌رو، مساله دوم را در نظر می‌گیریم.
مساله دوم از سه مساله بدین قرار است:

مساله نهایی(سوم) از سه مساله برابر است با:

دهه۱۹۶۰آغاز نظریه‌ی فازی
منطق فازی^[۸] برای اولین بار در سال ۱۹۶۰ توسط دکتر لطفی‌زاده استاد علوم کامپیوتر دانشگاه برکلی،^[۹] کالیفرنیا، ابداع شد. مقاله کلاسیک پرفسور لطفی‌زاده درباره مجموعه فازی که در سال ۱۹۶۵ به چاپ رسید، سرآغاز جهشی نوین در علوم و مهندسی سیستم و کامپیوتر بود. منطق کلاسیک هر چیزی را بر اساس یک سیستم دوتایی نشان می‌دهد (درست یا غلط، ۰ یا ۱، سیاه یا سفید)، ولی منطق فازی درستی هر چیزی را با یک عدد که مقدار آن بین صفر و یک است، نشان می‌دهد. مثلاً اگر رنگ سیاه را عدد صفر و رنگ سفید را عدد ۱ نشان دهیم، آن‌گاه رنگ خاکستری عددی نزدیک به صفر خواهد‌بود. در سال ۱۹۶۵، دکتر لطفی‌زاده نظریه سیستم‌های فازی را معرفی‌کرد. در فضایی که دانشمندان علوم مهندسی به دنبال روش‌های ریاضی برای چیرگی بر مسایل دشوارتر بودند، نظریه فازی به گونه‌ای دیگر از مدل‌سازی، اقدام کرد.