و بردارهای وارون متناظر نیز به صورت هستند.
و (۳-۹)
نقاط ابر متقارن منطقه اولیه بریلوئن شبکه مثلثی دارای مختصات و K= و M=( هستند.
۳-۲ تئوری بلاخ ^[۵۹]
مطالعه انتشار موج در محیط های متناوب سه بعدی اولین بار توسط فیلیکس بلاخ در سال ۱۹۲۸ انجام گرفت. وی با توسعه تئوری یک بعدی فلوکونت^[۶۰] ثابت کرد که امواج در چنین محیط های بدون پراکندگی منتشر می‎شوند و حاصلضرب یک تابع پوش متناوب (پریودیک) در یک موج مسطح، رفتار آنها را توصیف می‎کند. هرچند کار بلاخ روی شبکه های کریستالی اتمی و مکانیک منجر به این نتیجه جالب شد که، در یک هادی الکترونها توسط نقص های کریستالی( و نه یونهای منظم متناوب) پراکنده می‎شوند، تکنیک مشابهی را می‎توان در الکترومغناطیس با جایگذاری معادلات ماکسول به جای معادلات شرودینگر در مسائل مقدار ویژه اعمال نمود.
فرض کنید که میدان الکترومغناطیسی یک وابستگی زمانی هماهنگ به صورت دارد]۵۹[.
معادلات کرل ماکسول در دامنه فرکانس به صورت زیر نوشته می شود.
(۳-۱۰)
که E میدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، فرکانس زاویه ای، نفوذپذیری مغناطیسی و ثابت دی الکتریک وابسته به مکان بلور فوتونی هستند. با حذف E از معادلات بالا می‎توان به معادله زیر رسید]۵۹[.
(۳-۱۱) H
معادله فوق یک معادله ویژه مقداری است که در آن سرعت نور در خلاّ است. در اینجا نفوذپذیری مغناطیسی و گذردهی الکتریکی خلاّ می باشد.
به این ترتیب واضح است که این یک مساله ویژه مقداری، با ویژه مقدار () و عملگر می باشد. این عملگر هرمیتی است. بنابراین، همان تئوری جبر خطی حاکم در مکانیک کوانتوم، قابل اعمال در مورد امواج الکترومغناطیس می‎باشد. این واقعیت که در این مساّله ویژه مقداری به ازای است و ویژه عملگر نیز هرمیتی است، ایجاب می‎کند که فرکانس های ویژه حاصل از حل این مساله، حقیقی باشند و همچنین عمود بودن ویژه توابع را نتیجه می‎دهد.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
۳-۲-۱ اثبات تئوری بلاخ
تئوری بلاخ برای مدهای ویژه مربوط به بلورهای فوتونی منظم است. در اینجا اثبات می‎کنیم که جواب معادله(۳-۱۲) به صورت(۳-۱۳) است]۵۹[:
E (۳-۱۲)
(۳-۱۳)
ابتدا ویژه تابع میدان الکتریکی را به صورت انتگرال فوریه زیر می‎نویسیم.
(۳-۱۴)
معادله ویژه مقداری میدان الکتریکی (معادله(۳-۱۱)) را با اندکی تغییرات به شکل زیر می‎نویسیم.
(۳-۱۵)
(۳-۱۶)
سپس بسط تابع دی‎الکتریک را به صورت سری فوریه می‎نویسیم.
(۳-۱۷)
با جایگذاری رابطه های (۳-۱۴) و (۳-۱۷) در (۳-۱۶) عبارت زیر به دست می‎آید]۵۹[:
(۳-۱۸)
چون رابطه (۳-۱۸) برای همه rها جواب دارد، پس باید عبارت زیر برقرار باشد]۵۹[:
k(3-19)
این معادله نشان می‎دهد که تنها آن دسته از ساختارهای فوریه، توسط بردارهای تقلیل ناپذیر شبکه، مساله ویژه مقداری را تشکیل می‎دهند که یک مجموعه از معادلات ویژه مقداری خطی هستند. بنابراین تنها آن ساختارهای فوریه برای بیان ویژه مدهای رابطه (۳-۱۴) لازم هستند.
(۳-۲۰)
اگر را به صورت زیر تعریف کنیم به رابطه (۳-۲۱) می‎رسم.
(۳-۲۱)
رابطه (۳-۲۱) یک عبارت دوره ای است.
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)
۳-۳ امواج بلاخ و ناحیه بریلوئن
همانگونه که در قسمت قبل اثبات شد، در مواردی که بلور فوتونی معادل یک تابع دی الکتریک به صورت وa بردار اولیه شبکه می‎باشد، تئوری بلاخ ایجاب می‎کند که جواب معادله(۳-۲۴) به صورت (۳-۲۵)باشد.
E (۳-۲۴)
(۳-۲۵)
ویژه مقادیر یک تابع پوش متناوب است که در معادله زیر صدق می‎کنند.
()(۳-۲۶)
که این خود به یک مساله ویژه مقداری دیگری روی سلول های شبکه، به ازای هر بردار موج k ، منجر می‎شود. اگر ساختار در همه جهات متناوب باشد، حل این معادله به مقادیر ویژه گسسته که با n=1,2,.. مشخص می‎شوند می‎انجامد. این مقادیر ویژه توابع پیوسته ای از k بوده و تشکیل باندهای گسسته ای را داده که اگر نسبت به k رسم شوند، حاصل ساختار نواری^[۶۱] نام دارد. شکل زیر نمونه ای از یک ساختار نواری را نشان می‎دهد.
طبق تئوری بلاخ همچنین، توابع متناوبی از k هستند.
(۳-۲۷)
بردار اولیه شبکه وارون است. بنابراین تنها کافی است که توابع ویژه به ازای مقادیر k داخل یک سلول اولیه شبکه معکوس محاسبه شوند. اولین پریود ( پریود نزدیک به مبدا)، اولین ناحیه بریلوئن نام دارد. به عنوان مثال در مورد یک سیستم یک بعدی به ازای تناوب a، بوده و بازه k=- اولین ناحیه بریلوئن است. در صورتی که سیستم دارای تقارن های دیگری نیز باشد، می‎توان اولین ناحیه بریلوئن را به ناحیه کوچکتری به نام ناحیه غیر قابل تقلیل بریلوئن^[۶۲] تقسیم کرد. به عنوان مثال در سیستم یک بعدی، با توجه به خاصیت تقارن وارون زمانی^[۶۳] (k)، ناحیه غیر قابل تقلیل بریلوئن k= خواهد بود.
۳-۴ مد های ویژه بلور های فوتونی
برای تحلیل میدان تابشی در یک بلور فوتونی، در مرحله اول فرمول های مربوط به مساله ویژه مقداری از معادلات موج را بررسی کرده و یک روش عددی کلی برای حل آن بیان می‎کنیم. علاوه بر حالت سه بعدی ، حالت دو بعدی بلور فوتونی (حالتی که معادلات بردار موج به دو معادله عددی مستقل کاهش پیدا می‎کند) را نیز بیان می‎کنیم.
۳-۴-۱ بردار های موج مساّله ویژه مقداری
ابتدا از معادلات ماکسول شروع می‎کنیم. به دلیل آنکه مدهای ویژه برای میدان تابشی را می‎خواهیم، در اینجا بارهای آزاد و جریان الکتریکی وجود ندارد. در این حالت معادلات ماکسول در حالت کلی به شکل زیر وجود دارند.
(۳-۲۸) 
در معادلات بالا Eمیدان الکتریکی، H میدان مغناطیسی، D جابجایی الکتریکی، B القای مغناطیسی است.
برای حل معادلات موج به دست آمده از معادلات ماکسول، باید D را به E، و B را به H مربوط سازیم.
(۳-۲۹)