در این مدل خانوارها، نهاده‌ها را در اختیار دارند و (تابع) تکنولوژی را مدیریت می‌کنند. فرض می‌شود که تابع تکنولوژی شکل زیر را داشته باشد:
(۲-۱)
که ستاده کل، سرمایه فیزیکی و اندازه نهاده نیروی کار است.
فرض می‌شود تابع تولید، شکل نئوکلاسیکی داشته باشد. از آن‌جایی که در این مدل نرخ‌های پس‌انداز به صورت برون‌زا هستند، نرخ مصرف هم به صورت برون‌زا خواهد بود و در نتیجه نیازی به معرفی فرد یا خانواری که در حال بهینه سازی باشند، وجود ندارد. علاوه براین فرض می‌شود اقتصاد یک بخشی است که در آن ستاده هم می‌توان مصرف و هم سرمایه‌گذاری شود. همچنین اقتصاد بسته است و سرمایه در نرخ مثبت ثابتی ( ) مستهلک می‌شود. نرخ رشد جمعیت در این مدل برون‌زا ( ) است و عرضه کار نیز به ازای هر فرد برای مدل به صورت برون‌زا است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
با نرمال کردن اندازه جمعیت، در زمان صفر و کار موثر به عدد یک، نهاده نیروی کار به صورت در می‌آید. با بهره گرفتن از فروض ذکر شده، افزایش خالص در سرمایه سرانه عبارت است از:
(۲-۲)
این عبارت به معادله دیفرانسیلی اساسی مدل سولو-سوان معروف است.
عبارت اول در سمت راست، پس‌انداز سرانه از ستاده سرانه و عبارت دوم استهلاک موثر سرانه است. حال می‌توان وضعیت پایا را که در آن کمیت‌هایی نظیر سرمایه، جمعیت و ستاده در نرخ‌های ثابتی رشد می‌کنند، تعریف کرد.
در مدل سولو-سوان فقط در صورتی که افزایش خالص در سرمایه سرانه مساوی صفر باشد، وضعیت پایا وجود دارد. همچنین اگر سرمایه سرانه ثابت باشد (در وضعیت پایا) مصرف سرانه و ستاده سرانه نیز ثابت خواهند بود.
, , (۲-۳)
از آن‌جایی که مقادیر سرانه در وضعیت پایا ثابت هستند، سطح ستاده کل، مصرف کل و سرمایه کل می‌بایستی با یک نرخ مشابه که همان نرخ رشد جمعیت است، رشد نمایند. افزایش در نرخ رشد جمعیت تاثیری روی متغیرهای سرانه ندارد، چرا که این نرخ‌ها در وضعیت پایا صفر هستند. با این حال افزایش در باروری منجر به کاهش در سطح سرمایه سرانه و از این رو کاهش در مصرف و ستاده سرانه می‌گردد، که این تاثیر به رقیق کردن سرمایه معروف است. رشد جمعیت بالاتر مستلزم نرخ پس‌انداز بالاتری است تا همان سطح سرمایه ثابت بماند. اما در این مورد، نرخ پس‌انداز ثابت است و امکان این عمل جبرانی وجود ندارد.
نمودار (۲-۱) : مدل سولو-سوان
به جای استفاده از تابع تولید نئوکلاسیک می‌توان از توابع دیگری نیز استفاده کرد. ساده‌ترین تابع تولیدی که می‌تواند با وجود نرخ پس‌انداز برون‌زا، رشد درون‌زا را استفاده نماید، مدل است. که در آن دیگر فرض بازدهی نزولی نسبت به سرمایه وجود ندارد و سایر فروض بیان شده در بالا هم‌چنان برقرار است. این تابع تولید را می‌توان چنین نوشت:
(۲-۴)
سطح تکنولوژی را نشان می‌دهد که مقدار مثبتی است. تولید نهایی و متوسط سرمایه این تابع در سطح ثابت هستند.
از معادله اساسی چنین برداشت می‌شود که نرخ رشد سرمایه مستقل از سرمایه سرانه است، از این رو نرخ رشد همیشه در سطح وضعیت پایای خود است. علاوه بر این می‌توان نشان داد که نرخ‌های رشد مصرف و ستاده سرانه باید با سرمایه سرانه یکسان باشد. بنابراین نرخ رشدوضعیت پایا به صورت زیر است:
(۲-۵)
افزایش در نرخ رشد جمعیت منجر به کاهش در نرخ رشد متغیرهای سرانه می‌شود. بنابراین هر دو مدل با نرخ‌های پس‌انداز برون‌زا و رشد جمعیت بالا به استانداردهای زندگی سرانه پایین‌تری که توسط مصرف یا رشد مصرف قابل اندازه‌گیری است، منتهی می‌شود.
۲-۵-۱-۲) مدل رمزی - کینز
در این‌گونه مدل‌ها، خانوارها تصمیم می‌گیرند که چه مقدار مصرف کنند و در نتیجه چه مقدار پس‌انداز نمایند تا بدین وسیله مسیر مصرف را در طول زمان بهینه کنند. این عمل با توجه به حداکثر سازی تابع مطلوبیت نسبت به قید بودجه انجام می‌شود. خانوارها دارای افق زمانی نامحدود هستند و اندازه هر خانواده با نرخ ثابت رشد می‌یابد. و عرضه‌ی نیروی کار بی‌کشش و به یک نرمال می‌شود. از این رو کل جمعیت مانند مدل سولو- سوان به صورت خواهد بود. در نتیجه هر خانواده مایل است که تابع مطلوبیت زیر را حداکثر کند:
(۲-۶)
تابع رفاه است که جریان مصرف را به جریانی از مطلوبیت با رفاه هر فرد تبدیل می‌کند. نیز نرخ ترجیح زمانی است. فرض می‌شود تابع رفاه به ازای مصرف سرانه افزایش یابد و تابعی مقعر از باشد:
همین‌طور شرایط اینادا هم برقرار است، یعنی:
(۲-۷)
ضریب تابع مصرف در اندازه خانواده موید این نکته است که هر نقطه‌ای از زمان، کل مطلوبیت مساوی با مجموع مطلوبیت‌های همه اعضای خانواده که در آن زمان زندگی می‌کنند، است. نرخ مثبت ترجیح زمانی نشان می‌دهد که مطلوبیتی که فرد بعدها دریافت می‌کند، کمتر از مطلوبیت حال ارزش‌گذاری می‌شود. همچنین فرض می‌شود اقتصاد تک‌بخشی و بسته است و تابع تولید از ویژگی‌های نئوکلاسیک برخوردار است.
شرط بودجه برای خانوار که به صورت سرانه بیان می‌شود عبارت است از:
(۲-۸)
مساله بهینه سازی خانوار، حداکثر سازی تابع مطلوبیت با توجه به قید بالاست. با بهره گرفتن از اصل حداکثر سازی پونترایگین[۴۲]، مساله انتخاب مصرف در طی زمان که به قاعده رمزی-کینز معروف است، به دست می‌آید:
(۲-۹)
که اولین عبارت در سمت راست کشش جانشینی بین زمانی یا معکوس کشش مطلوبیت نهایی است.
قاعده رمزی کینز بیان می‌کند که مصرف سرانه در صورتی در طی زمان رشد خواهد کرد که بازدهی سرمایه بیشتر از نرخ خالص ترجیح زمانی باشد. این مطلب به این دلیل است که با وجود بازدهی بالای سرمایه، خانوار ترجیح می‌دهند بیشتر از زمان حال سرمایه گذاری کنندو مصرف را به تعویق بیاندازند. در حالت وضعیت پایا نرخ رشد مصرف و نرخ بازدهی سرمایه ، ثابت و کشش جانشینی بین زمانی باید حداقل به سمت عدد ثابتی مجانب شود. معمولا فرض می‌شود که تابع مطلوبیت به شکل زیر است:
(۲-۱۰)
که مثبت است و بالاتر به معنای تمایل کمتر خانواده‌ها برای انصراف از الگوی یکپارچه مصرف در طی زمان است، چرا که بالاتر بیان‌گر کاهش بیشتر در مطلوبیت نهایی در عکس‌العمل به افزایش مصرف است.
با بهره گرفتن از دو معادله دیفرانسیلی برای مصرف و سرمایه سرانه، وضعیت حالت پایایی که در آن نرخ‌های رشد ثابت هستند، منجر به
(۲-۱۱)
و برای سرمایه سرانه و مصرف سرانه نیز:
(۲-۱۲)
می‌شود. در اینجا نیز افزایش در نرخ رشد جمعیت، نرخ‌های رشد متغیرهای سرانه را تغییر نمی‌دهد چرا که در وضعیت پایا صفر هستند.
در مقایسه با مدل سولو- سوان، نرخ‌های پس‌انداز برون‌زای نئوکلاسیکی، افزایش در ، سرمایه سرانه را تحت تاثیر قرار نمی‌دهد. بنابراین ستاده سرانه تا زمانی که نرخ ترجیح زمانی یکسان بماند، تغییر نمی‌کند.
تصریح دیگری از تابع مطلوبیت توسط بلانچارد و فیشر(۱۹۸۹) ارائه شده است، که مهم‌ترین تفاوت آن ها دراین است که مطلوبیت کل، به اندازه جمعیت بستگی ندارد. اما فقط رفاه سرانه توسط نرخ ترجیح زمانی تنزیل می‌شود که این تابع به صورت زیر می‌باشد:
(۲-۱۳)
با در نظر گرفتن سایر فروض این تابع منجر به مقادیر وضعیت پایا برای سرمایه سرانه و مصرف سرانه به صورت زیر است:
(۲-۱۴)
(۲-۱۵)
با مقایسه آن با مدل رمزی مشاهده می‌شود که در این مدل رشد جمعیت نه فقط مصرف، بلکه سرمایه سرانه و ستاده را نیز تحت تاثیر قرار می‌دهد. افزایش در نرخ رشد جمعیت منجر به کاهش مقدار وضعیت پایای سرمایه سرانه و از این‌رو ستاده سرانه می‌شود.
عملا نرخ رشد جمعیت بالاتر با نرخ موثر ترجیح زمانی بالا مطابقت دارد. در این مدل هیچ جبرانی به شکل مطلوبیت اضافی وجود ندارد. زمانی که جمعیت زیاد می‌شود، هزینه‌ها فقط به صورت کاهش سرمایه سرانه خواهد بود. با وجود نرخ موثر ترجیح زمانی بالاتر مقدار کمتری پس‌انداز می‌شود و در نتیجه سرمایه سرانه کاهش می‌یابد.
